０５１	平成３１年度前期	京都大学	理系	・・・	複素数（数�V）	標準

　問題文に常用対数表が付いているのだが、これって必要？ｌｏｇ₁₀２の値を与えれば十分
じゃない？


京都大学　前期理系（２０１９）

　ｉ は虚数単位とする。（１＋ｉ）^ｎ＋（１−ｉ）^ｎ＞１０¹⁰をみたす最小の正の整数ｎを求めよ。


（解）　（１＋ｉ）^ｎ＝（√２）^ｎ（cos（ｎπ/４）＋ｉ・ｓｉｎ（ｎπ/４））

　　　（１−ｉ）^ｎ＝（√２）^ｎ（cos（ｎπ/４）−ｉ・ｓｉｎ（ｎπ/４））　なので、

　（１＋ｉ）^ｎ＋（１−ｉ）^ｎ＝２（√２）^ｎ・cos（ｎπ/４）＞１０¹⁰をみたす最小の正の整数ｎを求める。

　cos（ｎπ/４）＞０　なので、　ｎ≡０　、１　、７　（ｍｏｄ　８）　のときを考えればよい。

　ｎ≡０　（ｍｏｄ　８）　すなわち、　ｎ＝８ｋ　のとき、　２（√２）^ｎ＝２^1+4k＞１０¹⁰

　　両辺の常用対数をとれば、　（１＋４ｋ）ｌｏｇ₁₀２＞１０

　ｌｏｇ₁₀２＝０．３０１０　なので、　１＋４ｋ＞３３．２２２・・・　より、　ｋ＞８．・・・

　最小の自然数は、　ｋ＝９　なので、　ｎ＝７２

　ｎ≡１　（ｍｏｄ　８）　すなわち、　ｎ＝８ｋ＋１　のとき、　２（√２）^ｎ（１/√２）＝２^1+4k＞１０¹⁰

　　両辺の常用対数をとれば、　（１＋４ｋ）ｌｏｇ₁₀２＞１０

　ｌｏｇ₁₀２＝０．３０１０　なので、　１＋４ｋ＞３３．２２２・・・　より、　ｋ＞８．・・・

　最小の自然数は、　ｋ＝９　なので、　ｎ＝７３

　ｎ≡７　（ｍｏｄ　８）　すなわち、　ｎ＝８ｋ＋７　のとき、　２（√２）^ｎ（１/√２）＝２^4+4k＞１０¹⁰

　　両辺の常用対数をとれば、　（４＋４ｋ）ｌｏｇ₁₀２＞１０

　ｌｏｇ₁₀２＝０．３０１０　なので、　４＋４ｋ＞３３．２２２・・・　より、　ｋ＞７．３・・・

　最小の自然数は、　ｋ＝８　なので、　ｎ＝７１

　以上から、求める最小の自然数は、　ｎ＝７１　　（終）