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| ０５０ | 平成３１年度前期 | 東京大学 | 理系 | ・・・ | 整数問題（数Ａ） | 標準 |
互除法って、こういう出題の仕方もあるのかと勉強になりました！
東京大学 前期理系（２０１９）
ｎを１以上の整数とする。
（１） ｎ2＋１と５ｎ2＋９の最大公約数ｄｎを求めよ。
（２） （ｎ2＋１）（５ｎ2＋９）は整数の２乗にならないことを示せ。
（解）（１） ５ｎ2＋９＝５（ｎ2＋１）＋４ なので、互除法より、
ｎ2＋１と５ｎ2＋９の最大公約数ｄｎは、ｎ2＋１と４ の最大公約数に等しい。
ｎ≡０、１、２、３ （ｍｏｄ ４） に対して、 ｎ2＋１≡１、２、１、２ （ｍｏｄ ４）
よって、 ｎ≡０、２ （ｍｏｄ ４） すなわち、
ｎが偶数のとき、ｎ2＋１を４で割った余りは１なので、
ｎ2＋１と４は互いに素で、 ｄｎ＝１
ｎ≡１、３ （ｍｏｄ ４） すなわち、 ｎが奇数のとき、ｎ2＋１を４で割った余りは２なので、
ｎ2＋１と４の最大公約数は２で、 ｄｎ＝２ となる。
（２） ｎが偶数のとき、ｎ2＋１と５ｎ2＋９は互いに素で、（ｎ2＋１）（５ｎ2＋９）が整数の２乗
になるものとすると、
ｎ2＋１と５ｎ2＋９はそれぞれ整数の２乗にならなければならないが、明らかにｎ2＋１が
整数の２乗になることはなく矛盾する。
ｎが奇数のとき、ｎ2＋１と５ｎ2＋９の最大公約数は２なので、
ｎ2＋１＝２Ａ 、５ｎ2＋９＝２Ｂ （ＡとＢは互いに素）
と書ける。 このとき、（ｎ2＋１）（５ｎ2＋９）＝４ＡＢ が整数の２乗になるものとすると、
ＡＢは整数の２乗 すなわち、 Ａ、Ｂそれぞれが整数の２乗になる。
そこで、 ｎ2＋１＝２ａ2 、５ｎ2＋９＝２ｂ2 とおける。
このとき、 ４ｎ2＋８＝２（ｂ2−ａ2） より、 ２ｎ2＋４＝ｂ2−ａ2
４を法として、奇数ｎに対して、 ｎ2≡１ なので、 ２ｎ2＋４≡２ （ｍｏｄ ４）
一方、 ａ2≡０、１ （ｍｏｄ ４）、ｂ2≡０、１ （ｍｏｄ ４） なので、いずれにしても
ｂ2−ａ2≡０、１、３ （ｍｏｄ ４）
よって、 ２ｎ2＋４＝ｂ2−ａ2 を満たす整数は存在しないので、
ｎが奇数のとき、（ｎ2＋１）（５ｎ2＋９）は整数の２乗にならない。
以上から、（ｎ2＋１）（５ｎ2＋９）は整数の２乗にならない。 （終）