０４９	平成３１年度前期	京都大学	理系	・・・	整数問題（数Ａ）	標準

　今年度の京都大学の問題は受験数学的にホッとするような．．．そんな雰囲気の問題が
多い。


京都大学　前期理系（２０１９）

　Ｆ（ｘ）＝ｘ³＋２ｘ²＋２とする。｜Ｆ（ｎ）｜と｜Ｆ（ｎ＋１）｜がともに素数となる整数ｎをすべて
求めよ。

（解）　ｎが偶数のとき、Ｆ（ｎ）も偶数かつ素数なので、　Ｆ（ｎ）＝±２

　Ｆ（ｎ）＝２　のとき、　ｎ³＋２ｎ²＋２＝２　より、　ｎ³＋２ｎ²＝０　よって、　ｎ＝０、−２

　Ｆ（ｎ）＝−２　のとき、　ｎ³＋２ｎ²＋２＝−２　より、　ｎ³＋２ｎ²＋４＝０

　このとき、ｎ²（ｎ＋２）＝−４　より、ｎ＋２は、４の負の約数で、　ｎ＋２＝−１、−２、−４

よって、ｎ＝−３、−４、−６　であるが、これらは、ｎ²（ｎ＋２）＝−４　を満たさないから不適

　ｎが奇数のとき、ｎ＋１は偶数なので、上記と同様にして、ｎ＋１＝０、−２　より、

　ｎ＝−１、−３

　以上から、　ｎ＝０、−１、−２、−３　　（終）