０４８	平成３１年度前期	京都大学	理系	・・・	三角関数（数�U）	やや易

　今年度の京都大学の問題は受験数学的にホッとするような．．．そんな雰囲気の問題が
多い。


京都大学　前期理系（２０１９）

　０＜θ＜π/２とする。cosθは有理数ではないが、cos２θ、cos３θがともに有理数となる
ようなθの値を求めよ。

　ただし、ｐが素数のとき、√ｐが有理数でないことは証明なしに用いてよい。

（解）　cos３θ＝４cos³θ−３ｃｏｓθ＝cosθ（４cos²θ−３）＝cosθ（２cos２θ−１）

　　ここで、２cos２θ−１≠０　とすると、　cosθ＝cos３θ/（２cos２θ−１）　となり、

　　有理数でないcosθが有理数のcos３θ/（２cos２θ−１）に等しくなる。これは矛盾。

　よって、　２cos２θ−１＝０　となり、　cos２θ＝１/２

　０＜θ＜π/２　より、　０＜２θ＜π　なので、　２θ＝π/３

　　したがって、　θ＝π/６　　（終）