０４７	平成３０年度前期	東北大学	理系	・・・	三角関数（数�T�U）	やや難

　計算量が多く、図示や証明を要求する問題が多かったようです。

東北大学　前期理系（２０１８）

　三角形ABCの内接円の半径を ｒ 、外接円の半径をＲとし、ｈ＝ｒ/Ｒとする。
また、∠A＝２α、∠Ｂ＝２β、∠Ｃ＝２γとおく。

（１）　ｈ＝４sinαsinβsinγ　となることを示せ。

（２）　三角形ABCが直角三角形のとき、ｈ≦−１　が成り立つことを示せ。また、等号が
　　成り立つのはどのような場合か。

（３）　一般の三角形ABCに対して、ｈ≦１/２　が成り立つことを示せ。また、等号が成り立つ
　　のはどのような場合か。

（参考）　ｈの評価を問う同趣旨の問題が、京都大学　後期理系（２００６）で出題されている。

（解）

（１）　左図において、　ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）/２　とおくと、 　△ABCの面積Ｓは、Ｓ＝ｒ・ｓ＝ａｂｃ/(４Ｒ)　と書ける。 　　正弦定理より、 　　ａ＝２Ｒsin２α、ｂ＝２Ｒsin２β、ｃ＝２Ｒsin２γ

　　よって、　ｒ＝２Ｒsin２α・sin２β・sin２γ/（sin２α＋sin２β＋sin２γ）　より、

　　ｈ＝ｒ/Ｒ＝２sin２α・sin２β・sin２γ/（sin２α＋sin２β＋sin２γ）

　　　＝１６sinαsinβsinγ・cosαcosβcosγ/（sin２α＋sin２β＋sin２γ）

　ここで、　２α＋２β＋２γ＝π　なので、

　sin２α＋sin２β＋sin２γ＝２sin（α＋β）ｃｏｓ（α−β）＋２sinγcosγ

＝２cosγｃｏｓ（α−β）＋２sinγcosγ＝２cosγ（ｃｏｓ（α＋β）＋cos（α−β））

＝４cosαcosβcosγ

　よって、　ｈ＝４sinαsinβsinγ

（２）　２γ＝π/２　即ち、γ＝π/４　と仮定しても一般性を失わない。このとき、

　ｈ＝−２sinγ（ｃｏｓ（α＋β）−cos（α−β））＝−（/２−cos（α−β））

より、　ｈ＝cos（α−β）−１≦−１

　等号成立は、α−β＝０　即ち、α＝β＝π/８　のときに限る。

　このとき、三角形ABCは直角２等辺三角形である。

（３）　一般に、

　ｈ＝−２sinγ（ｃｏｓ（α＋β）−cos（α−β））＝−２sinγ（sinγ−cos（α−β））　より、

　　　ｈ＝２sinγcos（α−β）−２sin²γ

　ここで、　−π/２＜α−β＜π/２、０＜γ＜π/２　なので、

　　　０＜cos（α−β）≦１　、　０＜sinγ＜１

　よって、　ｈ≦２sinγ−２sin²γ＝−２（sinγ−１/２）²＋１/２≦１/２

　等号成立は、α−β＝０　かつ　γ＝π/６　即ち、α＝β＝γ＝π/６　のときに限る。

　このとき、三角形ABCは正三角形である。