０４２	平成２８年度前期	東京工業大学	理系	・・・	整数問題（数Ａ）	やや難

　例年、東京工業大学の問題は心弱き受験生を圧倒するような迫力ある問題が多いが、今
年度は割りと取り組みやすい問題が多いように感じられる。


東京工業大学　前期理系（２０１６）

　ｎを２以上の自然数とする。

（１）　ｎが素数または４のとき、（ｎ−１）！はｎで割り切れないことを示せ。

（２）　ｎが素数でなくかつ４でもないとき、（ｎ−１）！はｎで割り切れることを示せ。


（解）（１）　ｎ＝４　のとき、　（ｎ−１）！＝３！＝６　はｎ＝４では割り切れない。

　　　ｎが素数のとき、（ｎ−１）！＝（ｎ−１）（ｎ−２）・・・３・２・１　の各因数はｎと互いに素で
　　ある。

　　　よって、（ｎ−１）！はｎで割り切れない。

　　　以上から、ｎが素数または４のとき、（ｎ−１）！はｎで割り切れない。

（２）　ｎが素数でなくかつ４でもないとき、　

　　　　　ｎ＝ａｂ　（ａ、ｂは２以上の自然数でともに２になることはない）

　　と書ける。

　　ａ＝ｂ　のとき、ａ≧３　で、ａ²≧３ａ＞２ａ＞ａ≧３　なので、ａ²−１、ａ²−２、・・・、３、２、１

　の中に、２ａとａが必ず含まれるので、（ｎ−１）！＝（ａ²−１）！はｎ＝ａ²で割り切れる。

　　ａ≠ｂ　のとき、ａｂ＞ａ　、ａｂ＞ｂ　なので、ａｂ−１、ａｂ−２、・・・、３、２、１の中に、ａとｂ

　が必ず含まれるので、（ｎ−１）！＝（ａｂ−１）！はｎ＝ａｂで割り切れる。　　（終）