０４１	平成２８年度前期	東北大学	理系	・・・	平面幾何（数Ａ）	やや易

　東北大学も、東京大学・京都大学・名古屋大学同様全体として易化した模様。


東北大学　前期理系（２０１６）

　鋭角三角形△ABCにおいて、頂点A、Ｂ、Ｃから各対辺に垂線ＡＤ、ＢＥ、CFを下ろす。こ
れらの垂線は垂心Ｈで交わる。このとき、以下の問いに答えよ。

（１）　四角形BCEFとAFHEが円に内接することを示せ。

（２）　∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＦであることを示せ。


（解）（１）　∠ＢＥＣ＝∠ＢＦＣ＝９０°なので、円周角の定理の逆より、四角形BCEFは同一
　　　　　　円周上にある。

　　　　　また、∠ＡＥＨ＝∠ＡＦＨ＝９０°なので、円に内接する四角形の定理の逆より、四
　　　　角形AFHEは同一円周上にある。

（２）　四角形BCEFは同一円周上にあるので、　∠ＥＢＦ＝∠ＥＣＦ

　　また、（１）と同様にして、　四角形ＥＨＤＣは同一円周上にあるので、　∠ＡＤＥ＝∠ＥＣＦ

　　さらに、　四角形ＢＤＨＦは同一円周上にあるので、　∠ＡＤＦ＝∠ＥＢＦ

　　　よって、　∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＦ


（コメント）　高校入試並の平面幾何の問題でした。ちょっと易しすぎではないでしょうか？


　DD++さんからのコメントです。（平成２８年４月３日付け）

　東北大って、1番でこういう問題出すこと多いですよね。計算するだけなら異様に簡単、た
だし、論述に忘れがちな内容が含まれていてミスがあると、容赦無く減点される証明問題。
その忘れがちな内容に大きな配点を持たせるために、他の内容を限界まで削いでいるので
はないかとすら感じます。

　この問題の場合、(1) の最大にしてほぼ唯一のポイントは、「円周角の定理の逆には適用
条件があることを把握しているか？」でしょう。

　「鋭角三角形は垂線の足が各辺上にあるため、点EとFが必ず辺BCについて同じ側にある」
ときちんと確認して満点をもらった受験生と、それを忘れたために解けたつもりで実は全く点
数をもらえていない受験生に分かれたのではないでしょうか。

　(2) の狙いが今一つ見えないのが不気味ですが、受験生の平均得点は実はそんなに高く
なさそう。


（コメント）　この問題の一番の眼目は（２）にあると思います。（１）は（２）を解くためのヒントを
　　　　　　与えているという東北大学の親心でしょう。