０４０	平成２８年度前期	名古屋大学	文系	・・・	整数問題（数Ａ）	標準

　名古屋大学も東京大学・京都大学同様全体としては問題レベルは易化した模様。受験の
定番の微積の問題が出題されなかったのが少し寂しいかな。


名古屋大学　前期文系（２０１６）

　正の整数ｎに対して、その（１と自分自身も含めた）すべての正の約数の和をｓ（ｎ）と書くこ
とにする。このとき、次の問に答えよ。

（１）　ｋを正の整数、ｐを３以上の素数とするとき、ｓ（２^ｋｐ）を求めよ。

（２）　ｓ（２０１６）を求めよ。

（３）　２０１６の正の約数ｎで、ｓ（ｎ）＝２０１６となるものをすべて求めよ。


（解）（１）　ｓ（２^ｋｐ）＝（１＋２＋２²＋・・・＋２^ｋ）（１＋ｐ）＝（２^ｋ+1−１）（１＋ｐ）

（２）　２０１６＝２⁵・３²・７　なので、

　　ｓ（２０１６）＝（１＋２＋２²＋・・・＋２⁵）（１＋３＋３²）（１＋７）＝６３・１３・８＝６５５２

（３）　２０１６の正の約数ｎは、ｎ＝２^ａ・３^ｂ・７^ｃ　（ａ＝０、１、・・・５、ｂ＝０、１、２、ｃ＝０、１）

　　と書けるので、　ｓ（ｎ）＝（２^ａ+1−１）｛（３^ｂ+1−１）/２｝（１＋・・・＋７^ｃ）　となる。

（イ）　ｂ＝０、ｃ＝０　のとき、　ｓ（ｎ）＝２^ａ+1−１＝２０１６　より、起こりえない。

（ロ）　ｂ＝０、ｃ＝１　のとき、　ｓ（ｎ）＝（２^ａ+1−１）・８＝２０１６　より、２^ａ+1−１＝２５２　とな
　　　り起こりえない。

（ハ）　ｂ＝１、ｃ＝０　のとき、　ｓ（ｎ）＝（２^ａ+1−１）・４＝２０１６　より、２^ａ+1−１＝５０４　とな
　　　り起こりえない。

（ニ）　ｂ＝１、ｃ＝１　のとき、　ｓ（ｎ）＝（２^ａ+1−１）・４・８＝２０１６　より、２^ａ+1−１＝６３

　　　このとき、　２^ａ+1＝６４　より、　ａ＝５

（ホ）　ｂ＝２、ｃ＝０　のとき、　ｓ（ｎ）＝（２^ａ+1−１）・１３＝２０１６　より、起こりえない。

（ヘ）　ｂ＝２、ｃ＝１　のとき、　ｓ（ｎ）＝（２^ａ+1−１）・１３・８＝２０１６　より、起こりえない。

　以上から、ｓ（ｎ）＝２０１６となるｎは、　ｎ＝２⁵・３¹・７¹＝６７２　　（終）


（コメント）　数学Ａの教科書には必ず入っているような定型的な問題。受験生の方も取り組
　　　　　　みやすかったのではないだろうか。