０３９	平成２８年度前期	京都大学	文系	・・・	整数問題（数Ａ）	難

　今年度の京都大学の入試問題で興味・関心を引いた問題である。深みのある整数問題で
少し難しいが、解法を見れば誰でもが納得しうるレベルだろう。極端な難問ではないと思う。


京都大学　前期文系（２０１６）

　ｎを４以上の自然数とする。数２、１２、１３３１がすべてｎ進法で表記されているとして、

　　　２¹²＝１３３１

が成り立っている。このとき、ｎはいくつか。十進法で答えよ。


　問題の意味を確認するために、いくつか計算してみた。

　ｎ＝４　とすると、　２¹²＝２^1・4+2＝２⁶＝６４　なので、１３３１＝１・４³＋３・４²＋３・４＋１
に等しくなりそうにない。

　ｎ＝５　とすると、　２¹²＝２^1・5+2＝２⁷＝１２８　なので、１３３１＝１・５³＋３・５²＋３・５＋１
に等しくなりそうにない。

　ｎ＝６　とすると、　２¹²＝２^1・6+2＝２⁸＝２５６　なので、１３３１＝１・６³＋３・６²＋３・６＋１
に等しくなりそうにない。

　ｎ＝７　とすると、　２¹²＝２^1・7+2＝２⁹＝５１２　で、１３３１＝１・７³＋３・７²＋３・７＋１＝５１２
となり、　２¹²＝１３３１　が成り立つので、ｎ＝７　は求める解のうちの一つである。

　これ以外に解があるかどうかを調べなければ完全解答とはならない。


（解）　ｎ進法を十進法に直すと、　２¹²＝２^1・ｎ+2＝２ⁿ⁺²

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１３３１＝１・ｎ³＋３・ｎ²＋３・ｎ＋１＝（ｎ＋１）³

　なので、　２ⁿ⁺²＝（ｎ＋１）³　となる。

　左辺は偶数なので、ｎ＋１も偶数で、　ｎ＋１＝２^k　（ｋは自然数）　とおける。

　このとき、　２^２k+1＝２^3k　より、　２^ｋ＋１＝３ｋ　すなわち、　２^ｋ＝３ｋ−１

　ｋ＝１　のとき、　２¹＝３・１−１　で成り立つが、ｎ＝１は、ｎ≧４に矛盾する。

　ｋ＝２　のとき、　２^ｋ＝３ｋ−１　は成り立たない。

　ｋ＝３　のとき、　２³＝３・３−１　で成り立ち、　ｎ＝２³−１＝７　はｎ≧４を満たす。

　ｋ≧４　のとき、　２^ｋ＞３ｋ−１　であることを数学的帰納法により示す。

　　ｋ＝４　のとき、　２⁴＝１６　、３・４−１＝１１　で、ｋ＝４のとき成り立つ。

　　ｋ＝ｍ　（ｍ≧４）　のとき成り立つと仮定する。すなわち、　２^ｍ＞３ｍ−１

　　　このとき、　２^ｍ+1＞６ｍ−２　で、

　　　　６ｍ−２−｛３（ｍ＋１）−１｝＝３ｍ−４＞０　より、　６ｍ−２＞３（ｍ＋１）−１

　　　よって、　２^ｍ+1＞３（ｍ＋１）−１　が成り立ち、ｋ＝ｍ＋１のときも成り立つ。

　以上から、ｋ≧４　のとき、２^ｋ＞３ｋ−１　が成り立つので、２^ｋ＝３ｋ−１を満たす解はない。

　したがって、求めるｎの値は、ｎ＝７　のみである。　　（終）