０３８	平成２８年度前期	京都大学	理系	・・・	整数問題（数Ａ）	やや難

　今年度の京都大学の入試問題は、昨年度に比して若干易化したようで難問と思えるものは
見当たらなかった。ただ、受験生個々の力量で解ける、解けないの２分化現象が起こりそうな
問題が目についた。


京都大学　前期理系（２０１６）

　素数 ｐ、ｑ を用いて、ｐ^ｑ＋ｑ^ｐ と表される素数をすべて求めよ。


（解）　３以上の素数 ｐ、ｑ は奇数なので、ｐ^ｑ＋ｑ^ｐ は偶数となり、素数とはなり得ない。

　よって、ｐ または ｑ は、２に等しい。

（１）　ｐ＝ｑ＝２　のとき、　ｐ^ｑ＋ｑ^ｐ＝８　は素数でない。

（２）　ｐ＝２　のとき、　２^ｑ＋ｑ² が素数となるような ｑ を求める。

　　　　ｑ＞３　とすると、ｑ≡１　（ｍｏｄ　３）　または　ｑ≡−１　（ｍｏｄ　３）

　　　　何れにしても、　ｑ²≡１　（ｍｏｄ　３）

　　　　また、ｑ＝２ｋ＋１　（ｋは自然数）と書けるので、　２^ｑ＝２・４^ｋ≡２　（ｍｏｄ　３）

　　　よって、　２^ｑ＋ｑ²≡０　（ｍｏｄ　３）　となり、素数となり得ない。

　　したがって、　ｑ＝３　でなければならない。

（３）　ｑ＝２　のとき、（２）と同様にして、ｐ＝３　でなければならない。

　以上から、求める素数は、　２³＋３²＝８＋９＝１７　　（終）


（コメント）　「条件を満たす素数をすべて求めよ。」という文言から解くことを諦めさせるような
　　　　　　オーラを感じさせるが、結局素数は１個だけなんですね！なんか肩すかしを食った
　　　　　　ような．．．気分。河合塾の分析では、この問題は「やや易」なのだが、本当だろう
　　　　　　か？


　上記の類題が東北大学　前期理系（２０１６）でも出題された。

　以下の問いに答えよ。

（１）　６以上の整数ｎに対して、不等式　２^ｎ＞ｎ²＋７　が成り立つことを数学的帰納法により
　　示せ。

（２）　等式　ｐ^ｑ＝ｑ^ｐ＋７　を満たす素数の組（ｐ，ｑ）をすべて求めよ。


（解）（１）　ｎ＝６　のとき、２⁶＝６４、ｎ²＋７＝４３　より、　２⁶＞ｎ²＋７　なので、ｎ＝６とき成
　　　　　り立つ。

　　　ｎ＝ｋ（ｋ≧６）のとき成り立つと仮定する。すなわち、２^ｋ＞ｋ²＋７　が成り立つ。

　　　　このとき、　２^ｋ+1＞２（ｋ²＋７）　において、

　　　　　２（ｋ²＋７）−｛（ｋ＋１）²＋７｝＝ｋ²−２ｋ＋６＝ｋ（ｋ−２）＋６＞０

　　　より、　２^ｋ+1＞（ｋ＋１）²＋７　なので、　ｎ＝ｋ＋１のときも成り立つ。

　　　したがって、６以上の整数ｎに対して、不等式　２^ｎ＞ｎ²＋７　が成り立つ。

（２）　ｐ、ｑを３以上の素数とすると、ｐ^ｑ、ｑ^ｐは奇数となり、ｐ^ｑ＝ｑ^ｐ＋７　を満たす素数ｐ、ｑ
　　は存在しない。

　　よって、ｐ＝２　または　ｑ＝２

　　ｐ＝２　のとき、　２^ｑ＝ｑ²＋７　において、ｑ≧６　とすると、　ｑ²＋７＞ｑ²＋７　となり矛盾。

　　よって、　ｑ≦５　で、ｑは素数より、　ｑ＝２、３、５

　　これらのうち、　２^ｑ＝ｑ²＋７　を満たすものは、　ｑ＝５

　　ｑ＝２　のとき、　ｐ²＝２^ｐ＋７　において、ｐ≧６　とすると、　ｐ²＞ｐ²＋１４　で不適。

　　よって、　ｐ≦５　で、ｐは素数より、　ｐ＝２、３、５

　　これらは、　ｐ²＝２^ｐ＋７　を満たさない。

　以上から、　ｐ＝２、ｑ＝５


（コメント）　偶然にも、考え方は京都大学のものとほとんど同じですね！こんなことって、ある
　　　　　　んですね。驚きました。