０３７	平成２８年度前期	東京大学	文系	・・・	整数問題（数Ａ）	やや難

　今年度の東京大学の入試問題は標準的な問題の出題が多く、昨年度に比して若干易化し
たように見える。


東京大学　前期文系（２０１６）

　以下の問いに答えよ。ただし、（１）については、結論のみを書けばよい。

（１）　ｎを正の整数とし、３^ｎを１０で割った余りをａ_ｎとする。ａ_ｎを求めよ。

（２）　ｎを正の整数とし、３^ｎを４で割った余りをｂ_ｎとする。ｂ_ｎを求めよ。

（３）　数列｛ｘ_ｎ｝を次のように定める。　ｘ₁＝１　、　ｘ_ｎ+1＝３^ｘ_ｎ　（ｎ＝１，２，３，・・・）

　　ｘ₁₀ を１０で割った余りを求めよ。


（解）（１）　３¹＝３　、３²＝９　、３³＝２７　、３⁴＝８１　、３⁵＝２４３　、・・・　なので、

　　　　　ｎ≡１　（ｍｏｄ　４）　のとき、　ａ_ｎ＝３
　　　　　ｎ≡２　（ｍｏｄ　４）　のとき、　ａ_ｎ＝９
　　　　　ｎ≡３　（ｍｏｄ　４）　のとき、　ａ_ｎ＝７
　　　　　ｎ≡０　（ｍｏｄ　４）　のとき、　ａ_ｎ＝１

　　（注）　３^ｎ+4−３^ｎ＝８０・３^ｎ≡０　（ｍｏｄ　１０）　なので、　３^ｎ+4≡３^ｎ　（ｍｏｄ　１０）
　　　　　　したがって、ｎ＝１、２、３、４について調べれば十分である。


（２）　３¹＝３　、３²＝９≡１　（ｍｏｄ　４）　、３³＝２７≡３　（ｍｏｄ　４）　、・・・　なので、

　ｎ≡１　（ｍｏｄ　２）　のとき、　ｂ_ｎ＝３　、ｎ≡０　（ｍｏｄ　２）　のとき、　ｂ_ｎ＝１

と類推される。この類推が正しいことを数学的帰納法により示す。

　まず、ｎ＝２ｍ−１　（ｍ＝１、２、・・・）　のとき、　ｂ_ｎ＝３　であることを示す。

　ｍ＝１のとき、ｎ＝１で、３¹＝３　より　ｂ₁＝３　で、ｍ＝１のとき成り立つ。

　ｍ＝ｋ（ｋ≧１）のとき成り立つと仮定する。即ち、ｂ_2k-1＝３ である。

　このとき、３^2ｋ+1＝９・３^2ｋ-1≡１・３＝３　（ｍｏｄ　４）　なので、ｂ_2k+1＝３ である。

　このことから、ｍ＝ｋ＋１のときも成り立つ。

　したがって、全ての自然数ｍに対して、　ｂ_2m-1＝３　が成り立つ。

　すなわち、ｎ＝２ｍ−１　（ｍ＝１、２、・・・）　のとき、　ｂ_ｎ＝３　である

　同様にして、　ｎ＝２ｍ　（ｍ＝１、２、・・・）　のとき、　ｂ_ｎ＝１　であることも示される。

　　（注）　３^ｎ+2−３^ｎ＝８・３^ｎ≡０　（ｍｏｄ　４）　なので、　３^ｎ+2≡３^ｎ　（ｍｏｄ　４）
　　　　　　したがって、ｎ＝１、２について調べれば十分である。


（３）　定義より、　ｘ₁₀＝３^ｘ₉　、ｘ₉＝３^ｘ₈ 、ｘ₈＝３^ｘ₇　である。

　　ｘ₇は自然数なので、ｘ₈＝３^ｘ₇　は奇数である。

　　よって、　ｘ₉＝３^ｘ₈≡（−１）^ｘ₈＝−１　（ｍｏｄ　４）　より、ｘ₉≡３　（ｍｏｄ　４）

　　このとき、（１）より、　ｘ₁₀＝３^ｘ₉≡７　（ｍｏｄ　１０）　　（終）


（コメント）　この問題をどこかで見たよな〜と思って資料を調べたら、平成２７年１１月２１日
　　　　　　に筑波大学附属駒場高校で行われた教育研究会の数学Ａの授業問題の類似問
　　　　　　題であった。

　　２を２乗、３乗、・・・　していったときの下１桁は？とか７を２乗、３乗、・・・　していったとき
　の下１桁は？とかを考えさせ、１¹⁰＋２¹⁰＋３¹⁰＋・・・＋４１¹⁰の下１桁を求める問題で、一
　般の高校ではまずやらない課題に取り組ませるなど「筑駒、恐るべし」という印象を持ったこ
　とを今更ながら思い出された。