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| ０３６ | 平成２７年度前期 | 東京大学 | 文系 | ・・・ | 図形と式（数Ⅱ） | やや難 |
今年度の東京大学の入試問題は全般的に難しかったと言われる。特に、文系がその傾向
だったように感じる。理系並みの数学の力が要求されているようだ。
東京大学 前期文系（２０１５）
Ｌを座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする。さらに、以下の３条件（ⅰ）、（ⅱ）、
（ⅲ）で定まる円Ｃ1、Ｃ2を考える。
（ⅰ） 円Ｃ1、Ｃ2は２つの不等式 ｘ≧０、ｙ≧０ で定まる領域に含まれる。
（ⅱ） 円Ｃ1、Ｃ2は直線Ｌと同一点で接する。
（ⅲ） 円Ｃ1 は ｘ 軸と点（１，０）で接し、円Ｃ2 はｙ軸と接する。
円Ｃ1 の半径を ｒ1 、円Ｃ2 の半径を ｒ2 とする。 ８ｒ1 ＋９ｒ2 が最小となるような直線Ｌの
方程式と、その最小値を求めよ。
（解） 題意より、中心Ｃ1（１，ｒ1）、Ｃ2（ｒ2，１） とおける。このとき、
（１－ｒ2）2＋（ｔ－ｒ1）2＝（ｒ1＋ｒ2）2 より、 ｒ2＝（１－ｒ1）/（１＋ｒ1） である。
よって、 ８ｒ1 ＋９ｒ2＝８ｒ1 ＋９（１－ｒ1）/（１＋ｒ1）＝（８ｒ12－ｒ1＋９）/（１＋ｒ1）
ここで、１＋ｒ1＝ｔ とおくと、ｔ≧１で、８ｒ1 ＋９ｒ2＝８ｔ＋１８/ｔ－１７
相加平均と相乗平均の関係から、 ８ｔ＋１８/ｔ≧２√（８×１８）＝２４ で、
等号成立は、 ８ｔ＝１８/ｔ すなわち、 ｔ＝３/２ のとき。
このとき、 ｒ1＝１/２、ｒ2＝１/３ で、最小値は、７ である。
また、８ｒ1 ＋９ｒ2 が最小となるような直線Ｌの方程式Ｌは、Ｃ1（１，１/２）、Ｃ2（１/３，１）
を結ぶ直線に垂直なので、 Ｌ： ｙ＝４/３ｘ である。 （終）
（コメント） 予備校等の分析では「やや難」であるが、標準的な良問であった。