０３５	平成２７年度前期	東京大学	文系	・・・	２次関数（数�T�U）	やや難

　今年度の東京大学の入試問題は全般的に難しかったと言われる。特に、文系がその傾向
だったように感じる。理系並みの数学の力が要求されているようだ。


東京大学　前期文系（２０１５）

　座標平面上の２点Ａ（−１，１）、Ｂ（１，−１）を考える。また、Ｐを座標平面上の点とし、その
ｘ座標の絶対値は１以下であるとする。

　次の条件（�@）または（�A）をみたす点Ｐの範囲を図示し、その面積を求めよ。

（�@）　頂点のｘ座標の絶対値が１以上の２次関数のグラフで、点Ａ、Ｐ、Ｂをすべて通るもの
　　　がある。
（�A）　点Ａ、Ｐ、Ｂは同一直線上にある。

（解）　３点Ａ、Ｐ、Ｂが同一直線上にあるとき、点Ａ、Ｐ、Ｂをすべて通る２次関数のグラフは
　　　存在しないので、（�@）をみたす点Ｐの範囲を求める場合、３点Ａ、Ｐ、Ｂは同一直線上
　　　にないものとしてよい。

　題意より、点Ｐ（ｓ，ｔ）　（−１≦ｓ≦１）　とおける。

　点Ｐが条件（�A）をみたすとき、　ｔ＝−ｓ　が成り立つ。

　点Ｐが条件（�@）をみたすときを考える。３点Ａ、Ｐ、Ｂをすべて通る放物線の方程式を

　　ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ

とおくと、ａ−ｂ＋ｃ＝１　、ａ＋ｂ＋ｃ＝−１　より、　ｂ＝−１、　ｃ＝−ａ　となる。すなわち、

　　ｙ＝ａｘ²−ｘ−ａ

　頂点のｘ座標は、　１/（２ａ）　なので、題意より、　１/（２ａ）≦−１、１/（２ａ）≧１

　すなわち、　−１/２≦ａ＜０、０＜ａ≦１/２

　ここで、　ａｓ²−ｓ−ａ＝ｔ　より、　ａ（ｓ²−１）＝ｓ＋ｔ

　冒頭での確認から、　ｓ²−１≠０　としてよいので、　ａ＝（ｓ＋ｔ）/（ｓ²−１）

よって、　−１/２≦（ｓ＋ｔ）/（ｓ²−１）＜０、０＜（ｓ＋ｔ）/（ｓ²−１）≦１/２

　−１≦ｓ≦１　より、　ｓ²−１＜０　なので、

　　０＜ｓ＋ｔ≦−（ｓ²−１）/２　、　（ｓ²−１）/２≦ｓ＋ｔ＜０

したがって、　ｔ＞−ｓ　かつ　ｔ≦（−１/２）（ｓ＋１）²＋１

　　　　　　　または、　ｔ＜−ｓ　かつ　ｔ≧（１/２）（ｓ−１）²−１

　上記と、ｔ＝−ｓ　（−１≦ｓ≦１）　を合わせて、下図の領域が求めるものである。

　　　よって、求める面積は、

　　（１/１２）・４³・（１/２）×２−４

　　＝１６/３−４＝４/３　　（終）










（コメント）　予備校の難易分析では「やや難」となっているが、これは受験生が制限時間以内
　　　　　　でどの程度出来るかの目安。内容的には多分「標準」レベルの問題だろうと思う。
　　　　　　　面積の計算で例の公式を用いたが、本番の答案では減点のリスクを避けるため
　　　　　　に、素直に積分計算した方が無難だろう。