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| ０３３ | 平成２６年度前期 | 大阪大学 | 理系 | ・・・ | 積分（数学Ⅲ） | 標準 |
いつの間にか秋の気配の２０１４年夏。久しぶりに数学Ⅲの積分に挑戦！問題レベルは
「標準」としたが、どこかしらで経験がありそうな問題なので、「やや易」かもしれない。
大阪大学 前期理系（２０１４）
Σｋ=1～40000 （１/√ｎ） の整数部分を求めよ。
（解） ｎ≦ｘ≦ｎ＋１ において、 １/√（ｎ＋１）≦１/√ｘ≦１/√ｎ より、
積分して、 １/√（ｎ＋１）≦∫ｎｎ+1１/√ｘ≦１/√ｎ
Σｎ=1～39999
∫ｎｎ+1（１/√ｘ）＜Σｎ=1～39999
１/√ｎ より、
∫140000（１/√ｘ）＜Σｎ=1～40000 １/√ｎ－１/√（４００００） なので、
３９８＋１/２００＜Σｎ=1～40000
１/√ｎ
同様にして、 Σｎ=1～39999 １/√（ｎ＋１）＜Σｎ=1～39999
∫ｎｎ+1（１/√ｘ） より、
Σｎ=2～40000
１/√ｎ＜∫140000（１/√ｘ） なので、 Σｎ=1～40000
１/√ｎ－1＜３９８
Σｎ=1～40000 １/√ｎ＜３９９
以上から、 ３９８＋１/２００＜Σｎ=1～40000 １/√ｎ＜３９９ なので、
Σｎ=1～40000 １/√ｎの整数部分は、３９８ （終）
（コメント） 積分を用いて値の評価をするあたり、数学Ⅲらしい計算ですね！
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年８月３１日付け）
上記の問題の「40000」が気になったので、「Σｋ=1～n （１/√k） の整数部分を求めよ。」に
ついて同じ論議を辿ってみました。
2*(√n-1)+1/√n<Σｋ=1～n （１/√k）<2*√n-1 にたどり着けるので、
A=2*(√n-1)+1/√n 、B=Σｋ=1～n （１/√k） 、C=2*√n-1
とおいて、n=10000、20000、30000、･････、100000を調べてみました。それぞれのA;B;Cが
198.0100000000000000000000000;198.5446454495237465464854886;199.0000000000000000000000000
280.8497835424308752355817533;281.3858934849839644126522559;281.8427124746190097603377448
344.4159350164673549631343598;344.9526937482930662832343044;345.4101615137754587054892683
398.0050000000000000000000000;398.5421454859820798539805194;399.0000000000000000000000000
445.2180676359129388612275521;445.7554770553990722962350326;446.2135954999579392818347337
487.9020310395402582696204771;488.4396352864432945690324878;488.8979485566356196394568149
527.1540418576482103725952959;527.6917975242237888937813827;528.1502622129181181003231507
563.6889604831439522582974939;564.2268382055399751672747350;564.6854249492380195206754897
598.0033333333333333333333333;598.5413121563138699772455276;599.0000000000000000000000000
630.4586943113360347791107078;630.9967586623787480848262177;631.4555320336758663997787089
これより、この議論からユニークに答えが決まるためには、ｎは平方数であることが条件で
あることが見えてきます。
（ちなみに、Σｋ=1～100001（１/√k）=630.99992092･･･、Σｋ=1～100002 （１/√k）=631.00308317･･･）
「Σｋ=1～n （１/√k）を求める一般式をラマヌジャンが求めた。」というメモをしていましたが、
どんな式であるかを書いていませんでした。どなたか御存知の方がおられましたら、お知らせ
下さい。
さらに、この平方根の逆数には、1/1+1/√2+1/√3+･････+1/√n+･･･-->∞ だが、
1/1+(1/√2)^3+(1/√3)^3+･････+(1/√n)^3+･･･-->2.61･･･
と収束する。つまり、一辺が1/√nの立方体の角砂糖が積み重ねられてゆくと、高さは∞に
なるが、全体の砂糖の体積は有限という摩訶不思議な世界が起きる。