０２９	平成２３年度前期	京都大学	理系	・・・	空間図形（数学Ａ）	やや難

　京都大学らしい問題。受験知識＋思考力が試される良問。知っている知識から地道にア
プローチする力が求められる。


京都大学　前期理系（２０１１）

　空間内に四面体ＡＢＣＤを考える。このとき、４つの頂点 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ を同時に通る球面が

存在することを示せ。


（解）　△ＢＣＤの外心をＫとし、Ｋを通り平面ＢＣＤに垂直な直線をＬとする。

　　　このとき、Ｌ上の任意の点Ｐに対して、

　　　　　ＰＢ²＝ＰＫ²＋ＫＢ²　、ＰＣ²＝ＰＫ²＋ＫＣ²　、ＰＤ²＝ＰＫ²＋ＫＤ²

　　が成り立つ。ここで、Ｋは△ＢＣＤの外心なので、　ＫＢ²＝ＫＣ²＝ＫＤ²　が成り立つ。

　　　よって、　ＰＢ＝ＰＣ＝ＰＤ　でなければならない。

　　次に、辺ＡＢの中点Ｍを通り、ＡＢに垂直な平面をαとする。

　　このとき、平面αと直線Ｌは平行にならないので、交点Ｏが存在し、　ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ

　　さらに、　ＯＡ²＝ＡＭ²＋ＭＯ²　、ＯＢ²＝ＢＭ²＋ＭＯ²　において、ＡＭ＝ＢＭ　より、

　０Ａ＝ＯＢ　が成り立つ。

　以上から、　０Ａ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ　となり、点Ｏを中心とし、４つの頂点 Ａ、　Ｂ、Ｃ、Ｄ を

同時に通る球面が存在する。　　（終）


（コメント）　三角形の外心は、２辺の垂直２等分線の交点で定まる。その証明方法を反芻し、
　　　　　　四面体の中心がどんな性質を持つかを考えれば、上記の証明が自然な流れであ
　　　　　　ることが理解できるだろう。