０２８	平成２３年度前期	東京大学	理系	・・・	数列（数学Ｂ）	標準

　受験場でこんな問題を見たら絶対焦るだろうな〜というタイプの問題。具体例を考えて地道
に攻めるしかないだろう。


東京大学　前期理系（２０１１）

　実数 ｘ の小数部分を、０≦ｙ＜１　かつ　ｘ−ｙ が整数となる実数 ｙ のこととし、これを記号

<ｘ>で表す。実数ａに対して、無限数列｛ａ_ｎ｝の各項ａ_ｎ（ｎ＝１、２、３、・・・）を次のように順次

定める。

　（�@）　ａ₁＝<ａ>

　（�A）　ａ_ｎ≠０　のとき、　ａ_ｎ+1＝<１/ａ_ｎ>　　、　ａ_ｎ＝０　のとき、　ａ_ｎ+1＝０

（１）　ａ＝のとき、数列｛ａ_ｎ｝を求めよ。

（２）　任意の自然数 ｎ に対して、ａ_ｎ＝ａとなるような１/３以上の実数ａをすべて求めよ。

（３）　ａが有理数であるとする。ａを整数ｐと自然数ｑを用いて、ａ＝ｐ/ｑ　と表すとき、ｑ以上

　　のすべての自然数ｎに対して、ａ_ｎ＝０であることを示せ。


（解）（１）　ａ＝　のとき、１＜＜２　より、０＜−１＜１　なので、ｙ＝−１　とお

　　くと、０≦ｙ＜１　かつ　ａ−ｙ＝−（−１）＝１ は整数なので、　<ａ>＝ｙ＝−１

　　　よって、　ａ₁＝−１

　　ａ₁＝−１≠０　で、　１/ａ₁＝１/（−１）＝＋１

　　　２＜＋１＜３　より、０＜（＋１）−２＜１　なので、ｙ＝（＋１）−２＝−１

　　とおくと、

　　０≦ｙ＜１　かつ　１/ａ₁−ｙ＝（＋１）−（−１）＝２ は整数なので、

　　<１/ａ₁>＝ｙ＝−１　より、　ａ₂＝−１

　　以下同様にして、　ａ_ｎ＝−１　　（厳密には数学的帰納法で示す）

（２）　（（１）より、条件を満たすａの一つが、−１であることは予想されるが．．．。）

　　ａ₁＝<ａ>＝ａ　より、　０≦ａ＜１　で、さらに題意より、　１/３≦ａ＜１

　　ここで、　ａ＝１/３　とすると、　ａ₂＝０　となり、題意に反するので、　ａ≠１/３

　　よって、　１/３＜ａ＜１　となり、　１＜１/ａ＜３　から、　１/ａ＝１．・・・　または　２．・・・

　　（イ）　１/ａ＝１．・・・　のとき、　ａ＝１/ａ−１　が成り立ち、ａ²＋ａ−１＝０　より、

　　　　　０≦ａ＜１　に注意して、　ａ＝（−１）/２

　　（ロ）　１/ａ＝２．・・・　のとき、　ａ＝１/ａ−２　が成り立ち、ａ²＋２ａ−１＝０　より、

　　　　　０≦ａ＜１　に注意して、　ａ＝−１

（３）　題意より、　ａ_ｎ＝ｐ_ｎ/ｑ_ｎ　（ｐ_ｎ は０以上の整数、ｑ_ｎ は自然数）　と書ける。

　　　ａ₁＝<ｐ/ｑ>＝ｐ₁/ｑ₁ において、ｐをｑで割った余りがｐ₁であり、ｑ₁＝ｑ　である。

　　　このとき、　０≦ｐ₁＜ｑ

　　　ｐ₁＝０　のとき、ａ₁＝０　で、このとき、帰納的に　ａ_ｎ＝０　すなわち、　ｐ_ｎ＝０

　　　ｐ₁≠０　のとき、　ｑ＝ｋｐ₁＋ｒ　（ｋ、ｒ は整数で、　０≦ｒ＜ｐ₁）　とすると、

　　　　ａ₂＝<ｑ/ｐ₁>＝ｒ/ｐ₁　より、　ｐ₂＝ｒ、ｑ₂＝ｐ₁ において、　０≦ｐ₂＜ｑ₂＝ｐ₁＜ｑ

　　　以下同様にして、

　　　　　　ｐ_ｎ＝０　ならば、　ｐ_ｎ+1＝０

　　　　　　ｐ_ｎ≠０　ならば、　０≦ｐ_ｎ+1＜ｐ_ｎ＜ｑ　で、ｐ_ｎ+1、ｐ_ｎ は整数

　　以上から、　ｑ以上のすべての自然数ｎについては、ｐ_ｎ＝０ でなければならず、

　　　ａ_ｎ＝０　となる。