０２７	平成２４年度前期	東京大学	理系	・・・	整数（数学Ａ）	やや難

　平成２４年度より、数学では新学習指導要領が始まる。この問題は、その目玉「数学Ａ　整
数問題」の行く末を暗示するような．．．そんな雰囲気。


東京大学　前期理系（２０１２）

　ｎを２以上の整数とする。自然数（１以上の整数）のｎ乗になる数をｎ乗数と呼ぶことにする。

以下の問いに答えよ。

（１）　連続する２個の自然数の積はｎ乗数ではないことを示せ。

（２）　連続するｎ個の自然数の積はｎ乗数ではないことを示せ。


（解）（１）　連続する２個の自然数の積　ｍ（ｍ＋１） がｎ乗数であると仮定する。

　　　　　このとき、ある自然数 ｋ に対して、

　　　　　　ｍ（ｍ＋１）＝ｋ^ｎ　　ここで、ｍ、ｍ＋１は互いに素なので、

　　　　　　　ｍ＝Ａⁿ　、　ｍ＋１＝Ｂ^ｎ　（Ａ、Ｂは自然数）　でなければならない。

　　　　　　このとき、　１＝Ｂ^ｎ−Ａⁿ＝（Ｂ−Ａ）（Ｂ^ｎ-1＋Ｂ^ｎ-2Ａ＋・・・＋Ａ^ｎ-1）

　　　　　　Ｂ−Ａ≧１　なので、　Ｂ^ｎ-1＋Ｂ^ｎ-2Ａ＋・・・＋Ａ^ｎ-1≦１

　　　　　　ところで、　Ｂ^ｎ-1＋Ｂ^ｎ-2Ａ＋・・・＋Ａ^ｎ-1≧ｎ　なので、　ｎ≦１　となる。

　　　　　　これは、　ｎ≧２　であることに矛盾する。

　　　　　　よって、　連続する２個の自然数の積はｎ乗数ではない。

　　（２）　連続するｎ個の自然数の積　ｍ（ｍ＋１）・・・（ｍ＋ｎ−１） がｎ乗数であると仮定する。

　　　　　このとき、ある自然数 ｋ に対して、

　　　　　　ｍ（ｍ＋１）・・・（ｍ＋ｎ−１）＝ｋ^ｎ

　　　　　ここで、　ｍ^ｎ＜ｋ^ｎ＜（ｍ＋ｎ−１）^ｎ　より、　ｋ＝ｍ＋１、・・・、ｍ＋ｎ−２　の何れか。

　　　　　そこで、　ｍ（ｍ＋１）・・・（ｍ＋ｎ−１）＝（ｍ＋ｈ）^ｎ　　（ｈ＝１、２、・・・、ｎ−２）

　　　　　　ｍ＋２≦ｍ＋ｈ＋１≦ｍ＋ｎ−１　より、ｍ＋ｈ＋１は、（ｍ＋ｈ）^ｎ　の約数となるが、

　　　　　ｍ＋ｈ＋１とｍ＋ｈは互いに素なので、ｍ＋ｈ＋１と（ｍ＋ｈ）^ｎ　は互いに素である。

　　　　　これは矛盾である。

　　　　　　よって、　連続するｎ個の自然数の積はｎ乗数ではない。　　（終）