０２３	平成２１年度前期	京都大学	理系・乙	・・・	１次変換（数学Ｃ）	標準

　あと何年かすると高校数学の標準的な履修内容から「行列・１次変換」が消える。このこと
を意識したように、今年度は難関大学において、１次変換の問題が、これまでのストックをは
き出すように目白押しだ。


京都大学　理系・乙（２００９）

	を ａｄ−ｂｃ＝１ をみたす行列とする（ａ、ｂ、ｃ、ｄ は実数）。自然数 ｎ に対
して、平面上の点 Ｐｎ（ ｘｎ ， ｙｎ ） を

　　　　　　　

により定める。ＯＰ₁、ＯＰ₂　の長さが １ のとき、すべての ｎ に対して ＯＰ_ｎ の長さが １ で
あることを示せ。ここで、Ｏ は原点である。


　同様の問題 ：

	を ａｄ−ｂｃ＝１ をみたす行列（ａ、ｂ、ｃ、ｄ は実数）とし、正の整数 ｎ に対
して、

　　　　　　　　　　　　

により、 ｘ_ｎ 、 ｙ_ｎ を定める。 ｘ₂ ＋ ｙ₂ ＝ｘ₃ ＋ ｙ₃ ＝１　ならば、すべての ｎ に対して

ｘ_ｎ ＋ ｙ_ｎ ＝１　であることを示せ。

が京都大学　理系・甲（２００９）でも出題されている。多少表現が異なっているが、全く
同一の問題である。（甲と乙で、添え数にズレがあることに注意！）

　ひたすら成分計算することにより自ずから正解に到達しえることだろう。

（解）　ｘ₁＝ａ　、 ｙ₁ ＝ｃ　より、　ａ²＋ｃ²＝１

　　ｘ₂＝ａ²＋ｂｃ　、 ｙ₂ ＝ｃ（ａ＋ｄ）　において、ａｄ−ｂｃ＝１　より、　ｂｃ＝ａｄ−１　なので、

　　ｘ₂＝ａ²＋ｂｃ＝ａ²＋ａｄ−１＝ａ（ａ＋ｄ）−１　、 ｙ₂ ＝ｃ（ａ＋ｄ）

　このとき、　｛ａ（ａ＋ｄ）−１｝²＋ｃ²（ａ＋ｄ）²＝１　より、

　　　　　（ａ²＋ｃ²）（ａ＋ｄ）²−２ａ（ａ＋ｄ）＋１＝１

　ａ²＋ｃ²＝１　なので、　（ａ＋ｄ）²−２ａ（ａ＋ｄ）＝０

　よって、　（ａ＋ｄ）（ｄ−ａ）＝０　より、　ａ＋ｄ＝０　または　ｄ＝ａ

（イ）　ａ＋ｄ＝０　のとき、

　　　Ｃａｙｌｅｙ-Ｈａｍｉｌｔｏｎ の定理より、　Ａ²−（ａ＋ｄ）Ａ＋（ａｄ−ｂｃ）Ｅ＝Ｏ

　　ここで、　ａ＋ｄ＝０　、ａｄ−ｂｃ＝１　より、　Ａ²＝−Ｅ

　　したがって、自然数 ｎ に対して、行列 Ａ^ｎ は、　Ａ 、−Ｅ 、−Ａ 、 Ｅ 、 Ａ 、・・・　なので、

　　ＯＰ₁　の長さが １ のとき、すべての ｎ に対して ＯＰ_ｎ の長さは １ となる。

（ロ）　ｄ＝ａ　のとき、

　　　ａ²＋ｃ²＝１　、ａｄ−ｂｃ＝１　より、　ａ²＋ｃ²＝１　、ａ²−ｂｃ＝１

　　辺々引いて、　ｃ（ｂ＋ｃ）＝０　より、　ｃ＝０　または　ｂ＋ｃ＝０

　　（�@）　ｃ＝０　のとき、　ａ＝ｄ＝±１

　　　　　このとき、　ｘ₁＝±１　、 ｙ₁ ＝０　より、　ｘ₂＝（±１）²　、 ｙ₂ ＝０　、・・・

　　　　　一般に、　ｘ_ｎ＝（±１）^ｎ　、 ｙ_ｎ ＝０　なので、すべての ｎ に対して ＯＰ_ｎ の長さは

　　　　１ となる。

　　（�A）　ｂ＋ｃ＝０　のとき、　ｂ＝−ｃ　で、かつ　ａ²＋ｃ²＝１　、　ａｄ−ｂｃ＝１

　　　　　そこで、　ａ＝ｃｏｓθ　とおくと、　ｃ＝±ｓｉｎθ　となり、

　　　　　行列 Ａ は原点中心の角θまたは−θの回転移動を表す１次変換の行列となる。

　　　　　よって、ＯＰ₁　の長さが １ のとき、すべての ｎ に対して ＯＰ_ｎ の長さは １ となる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（終）


　平成２１年３月９日付けで、当ＨＰがいつもお世話になっているＳ（Ｈ）さんが、上記の問題
の条件を満たす行列Ａについて、次のような視座を示された。

　　ｘ₁＝ａ　、 ｙ₁ ＝ｃ　より、　ａ²＋ｃ²＝１　なので、　ａ＝ｃｏｓθ　とおくと、

　ｃ＝±ｓｉｎθ　となる。

　このとき、　ｃｏｓθ＝ｃｏｓ（±θ）　、　±ｓｉｎθ＝ｓｉｎ（±θ）　（復号同順）　であるの

で、最初から、　ａ＝ｃｏｓθ　、ｃ＝ｓｉｎθ　とおいても一般性は失われない。

　このとき、　ａｄ−ｂｃ＝１　において、

　　　ｃ＝０　とすると、　ａ＝±１　で、　ａｄ＝１　より、　ｄ＝±１　（復号同順）

　　　　明らかに、すべての ｎ に対して ＯＰ_ｎ の長さは １ となる。

　よって、　ｃ≠０　として、　ｂ＝（ｄ・ｃｏｓθ−１）/ｓｉｎθ　なので、

　　　　ｘ₂＝ｃｏｓ²θ＋ｄ・ｃｏｓθ−１＝ｄ・ｃｏｓθ−ｓｉｎ²θ

　　　　ｙ₂ ＝ｓｉｎθ・ｃｏｓθ＋ｄ・ｓｉｎθ＝ｓｉｎθ（ｃｏｓθ＋ｄ）

　ｘ₂²＋ｙ₂²＝１　なので、　（ｄ・ｃｏｓθ−ｓｉｎ²θ）²＋ｓｉｎ²θ（ｃｏｓθ＋ｄ）²＝１

　　　　ｄ²・ｃｏｓ²θ＋ｓｉｎ⁴θ＋ｓｉｎ²θ・ｃｏｓ²θ＋ｄ²・ｓｉｎ²θ＝１

　よって、　ｄ²＝１−ｓｉｎ⁴θ−ｓｉｎ²θ・ｃｏｓ²θ＝１−ｓｉｎ²θ＝ｃｏｓ²θ　より、

　　　　　　　　　ｄ＝ｃｏｓθ　または　ｄ＝−ｃｏｓθ

　　ｄ＝ｃｏｓθ　のとき、　ｂ＝（ｃｏｓ²θ−１）/ｓｉｎθ＝−ｓｉｎθ

　　　　このとき得られる行列Ａは原点中心、角θの回転移動を表すので、

　　　ＯＰ₁　の長さが １ のとき、すべての ｎ に対して ＯＰ_ｎ の長さは １ となる。

　　ｄ＝−ｃｏｓθ　のとき、　ｂ＝（−ｃｏｓ²θ−１）/ｓｉｎθ＝ｓｉｎθ−２/ｓｉｎθ

　　　　このとき得られる行列Ａは、　Ａ²＝−Ｅ　なる性質を有するので、

　　　ＯＰ₁　の長さが １ のとき、すべての ｎ に対して ＯＰ_ｎ の長さは １ となる。

（コメント）　上記の解答に比べて、何かスッキリしたような．．．感じですね！