０２２	平成２１年度前期	横浜国立大学	工学部	・・・	微分積分（数学�V）	標準

　この問題は、ひたすら計算で、受験生の根気と忍耐が試される問題と言えよう。


横浜国立大学　工学部前期（２００９）

　平面上に３点 Ｏ 、Ａ 、Ｂ があり、ＯＡ＝a 、ＯＢ＝ｂ　（０＜ａ＜ｂ）　で ＯＡとＯＢのなす角θ
は ０＜θ≦π/２　をみたす。点Ｃを　ＯＣ＝ＯＡ＋ＯＢで定める。また、Ｏから引いた半直線
ＯＡ上に点Ｐを ＯＡ＜ＯＰ となるようにとる。直線ＰＣと直線ＯＢの交点をＱとし、ＡＰ＝ｘ 、
ＰＱ²＝Ｆ（ｘ） とするとき、次の問いに答えよ。

（１）　Ｆ（ｘ） を ｘ ， ａ ， ｂ ， θ を用いて表せ。

（２）　第２次導関数 Ｆ”（ｘ） は ｘ ＞０ のときＦ”（ｘ）＞０ をみたすことを示せ。

（３）　ａ＝１、ｂ＝、ｃｏｓθ＝１/　のとき、ＰＱの長さの最小値を求めよ。


（解）　（１）　
　　左図において、

　　　ＯＰ＝（（ｘ＋ａ）/ａ）ＯＡ　は明らか。

　また、　ＢＱ ： ｂ＋ＢＱ ＝ ａ ： ｘ＋ａ　より、

　　　ＢＱ＝ａｂ/ｘ　となる。

　よって、　ＯＱ＝ｂ＋ａｂ/ｘ＝ｂ（ｘ＋ａ）/ｘ　より、

　　　ＯＱ＝（（ｘ＋ａ）/ｘ）ＯＢ




　このとき、　Ｆ（ｘ）＝ＰＱ²＝｜ＯＱ−ＯＰ｜²＝（ｘ＋ａ）²（ｘ²−２ｂｘｃｏｓθ＋ｂ²）/ｘ²　となる。

（２）　Ｆ’（ｘ）＝２｛ｘ⁴＋（ａ−ｂｃｏｓθ）ｘ³＋ａｂ（ａｃｏｓθ−ｂ）ｘ−ａ²ｂ²｝/ｘ³

　　　Ｆ”（ｘ）＝２｛ｘ⁴＋２ａｂ²ｘ−２ａ²ｂｘｃｏｓθ＋３ａ²ｂ²｝/ｘ⁴

　　　　　　　＝２｛ｘ⁴＋２ａ²ｂ（１−ｃｏｓθ）ｘ＋２ａｂ（ｂ−ａ）ｘ＋３ａ²ｂ²｝/ｘ⁴

　　このとき、　ｘ＞０　において、　１−ｃｏｓθ≧０　、　ｂ−ａ＞０　から、　Ｆ”（ｘ）＞０

　　（Ｆ’（ｘ）の計算が結構大変でした！）

（３）　条件より、

　　　　Ｆ（ｘ）＝（ｘ＋１）²（ｘ²−２ｘ＋６）/ｘ²＝（ｘ⁴＋３ｘ²＋１０ｘ＋６）/ｘ²

　　なので、　Ｆ’（ｘ）＝２（ｘ＋１）（ｘ−２）（ｘ²＋ｘ＋３）/ｘ³＝０　より、　ｘ＝２

　　ｘ＝２　のとき、　Ｆ（ｘ）は極小かつ最小となり、最小値は　２７/２

　　よって、ＰＱの最小値は、　３/２　となる。　　（終）


（コメント）　上記では、意図的に極力途中計算を省略してみた。解法的には教科書レベル
　　　　　　であり、何ら難しいことを聞いていないことを確認してもらうためである。

　　　　　　　　しかし、一度自分で上記の計算をやってみると、嫌気がさすくらいに大変な計
　　　　　　算量に圧倒されるはずである。ある者は途中で計算を放り出してしまうかもしれ
　　　　　　ない。

　　　　　　　　横国は往々にして、このような計算力を問う問題がお好きなようだ。横市もそ
　　　　　　うかな？

　予備校が公開している解答を参考にすれば、Ｆ（ｘ）を、

　Ｆ（ｘ）＝（１＋２ａ/ｘ＋ａ²/ｘ²）（ｘ²−２ｂｘｃｏｓθ＋ｂ²）

　　　　＝ｘ²−２ｂｘｃｏｓθ＋ｂ²＋２ａ（ｘ−２ｂｃｏｓθ＋ｂ²/ｘ）＋ａ²−（２ａ²ｂｃｏｓθ）/ｘ＋ａ²ｂ²/ｘ²

の形に展開してから第２次導関数を計算する方が楽なようだ！

　実際に、　Ｆ’（ｘ）＝２ｘ−２ｂｃｏｓθ＋２ａ（１−ｂ²/ｘ²）＋（２ａ²ｂｃｏｓθ）/ｘ²−２ａ²ｂ²/ｘ³

　　　　　　　Ｆ”（ｘ）＝２＋４ａｂ²/ｘ³−４ａ²ｂｃｏｓθ/ｘ³＋６ａ²ｂ²/ｘ⁴

　　　　　　　　　　　＝２｛ｘ⁴＋２ａｂ²ｘ−２ａ²ｂｘｃｏｓθ＋３ａ²ｂ²｝/ｘ⁴

となる。後は、本解と同様に、

　　　　　　　Ｆ”（ｘ）＝２｛ｘ⁴＋２ａ²ｂ（１−ｃｏｓθ）ｘ＋２ａｂ（ｂ−ａ）ｘ＋３ａ²ｂ²｝/ｘ⁴

と式変形して、　Ｆ”（ｘ）＞０　が示される。

（コメント）　腕力を過信して、積の導関数・商の導関数の公式でぐりぐり計算するよりも、軽
　　　　　　妙に展開して軽くかわす計算がとてもおしゃれですね！

　（１）で、余弦定理から、

　　　　　　　　Ｆ（ｘ）＝（ｘ＋ａ）²＋ｂ²（ｘ＋ａ）²/ｘ²−２ｂｃｏｓθ（ｘ＋ａ）²/ｘ

　とした方が後の展開が楽だったかもしれない！もしかして、出題者は、受験生がこのよう
　に導くことを想定して、その後の計算にはあまり無頓着だったかも．．．？

　　Ｆ”（ｘ）を計算してみよう。

　Ｆ’（ｘ）＝２（ｘ＋ａ）＋ｂ²｛２ｘ（ｘ＋ａ）−２（ｘ＋ａ）²｝/ｘ³−２ｂｃｏｓθ｛２（ｘ＋ａ）ｘ−（ｘ＋ａ）²｝/ｘ²

　　　　　＝２（ｘ＋ａ）−ａｂ²（２ｘ＋ａ）/ｘ³−２ｂｃｏｓθ（ｘ²−ａ²）/ｘ²

　よって、

　Ｆ”（ｘ）＝２−ａｂ²｛２ｘ−３（２ｘ＋ａ）｝/ｘ⁴−２ａ²ｂｃｏｓθ/ｘ³

　　　　　＝２＋ａｂ²（４ｘ＋３ａ）/ｘ⁴−２ａ²ｂｃｏｓθ/ｘ³

　　　　　＝２｛ｘ⁴＋２ａｂ²ｘ−２ａ²ｂｘｃｏｓθ＋３ａ²ｂ²｝/ｘ⁴

とすれば、後は、本解と同様になる。（な〜るほど．．．計算はそれほど大変じゃない！）

　平成２１年３月７日付けで当ＨＰがいつもお世話になっているＳ（Ｈ）さんが、判別式を利用
する解法を提示された。

　　Ｆ（ｘ）＝（ｘ⁴＋３ｘ²＋１０ｘ＋６）/ｘ²＝ｋ　とおき、分母を払って整理すると、

　　　　ｘ⁴＋（３−ｋ）ｘ²＋１０ｘ＋６＝０

　この判別式は、Ｓ（Ｈ）さんの計算によれば、

　　　Ｄ＝１６ｋ（２ｋ−２７）（３ｋ²＋１７ｋ＋１３５）

となるらしい。このことから、臨界点は２箇所（ｋ＝０　と　ｋ＝２７/２）あり、幾何学的に考え

て、求める最小値は、ｋ＝２７/２　の場合に与えられることが分かる。


　Ｓ（Ｈ）さんの解法に触発されて判別式（というか．．．重解）を意識した次の解法を思いつ
いた。

　　　　Ｇ（ｘ）＝ｘ⁴＋３ｘ²＋１０ｘ＋６　、　Ｈ（ｘ）＝ｋｘ²

とおき、２つの曲線が共通接線を持つ場合を考えればよい。

　　　　

　共通接線の接点の ｘ 座標を ｔ とおくと、　Ｇ（ｔ）＝Ｈ（ｔ）　、　Ｇ’（ｔ）＝Ｈ’（ｔ）

　　　すなわち、　ｔ⁴＋３ｔ²＋１０ｔ＋６＝ｋｔ²　、　４ｔ³＋６ｔ＋１０＝２ｋｔ

第２式より、　２ｔ⁴＋３ｔ²＋５ｔ＝ｋｔ²　なので、第１式を辺々引くと、

　　　　　　ｔ⁴−５ｔ−６＝０

　因数定理により、　（ｔ＋１）（ｔ−２）（ｔ²＋ｔ＋３）＝０　なので、　ｔ＝−１、２

　ｔ＞０　であるので、ｔ＝−１　は不適

　　ｔ＝２　のとき、　ｋ＝２７/２

　幾何学的に考えて、ｋ＝２７/２　のとき、Ｆ（ｘ）＝（ｘ⁴＋３ｘ²＋１０ｘ＋６）/ｘ²　は最小。

（コメント）　上記では、文字 ｋ を消去しましたが、文字 ｔ を消去すれば判別式が得られま
　　　　　　すね！

　また、Ｓ（Ｈ）さんによれば、次のような視座も可能のようだ。

ＢＱ＝ｙ　とおくと、　ＯＱ＝ｂ＋ａｂ/ｘ＝ｂ（ｘ＋ａ）/ｘ　より、　ｂ＋ｙ＝ｂ（ｘ＋ａ）/ｘ

　よって、　ｂｘ＋ｘｙ＝ｂｘ＋ａｂ　より、　ｘｙ＝ａｂ

ここで、　ａ＝１、ｂ＝、ｃｏｓθ＝１/　とすれば、

　Ｇ（ ｘ ， ｙ ）＝ｘｙ−＝０　のとき、

　　　　　　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝（ｘ＋１）²＋（ｙ＋）²−２（ｘ＋１）（ｙ＋）/

の極値を調べればよい。　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）　の極値を与える点（ ｓ ， ｔ ）は次の式を満たす。

　　　　　　　　　　２（ｘ＋１）−２（ｙ＋）/＋λｙ＝０

　　　　　　　　　　２（ｙ＋）−２（ｘ＋１）/＋λｘ＝０

　　　　　　　　　　　　　ｘｙ−＝０

このとき　２（ｘ＋１）ｘ−２ｘ（ｙ＋）/＋λ＝０　より、

　　２（ｘ＋１）ｘ−２ｘ（ｙ＋）＋６λ＝０　すなわち、　２ｘ²−２＋６λ＝０

　　　　２（ｙ＋）ｙ−２（ｘ＋１）ｙ/＋λ＝０　より、

　　２（ｙ＋）ｙ−２（ｘ＋１）ｙ＋６λ＝０　すなわち、　２ｙ²＋１０ｙ−２＋６λ＝０

より、辺々引いて、　２（ｘ²−ｙ²）−１０ｙ＝０　となる。

　すなわち、　　（ｘ²−ｙ²）−５ｙ＝０

　ｙ＝/ｘ　を代入して、　ｘ²−６/ｘ²−５/ｘ＝０　より、　ｘ⁴−５ｘ−６＝０

因数分解して、　（ｘ＋１）（ｘ−２）（ｘ²＋ｘ＋３）＝０

　ｘ＞０　であることから、　ｘ＝２　で、このとき、　ｙ＝/２

　幾何学的に考えて、　ｘ＝２　、ｙ＝/２　のとき、　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）は極小かつ最小となる。

　　　　　　　　　

（コメント）　パソコンを使うと、一瞬で、「ｘ＝２　において、極小かつ最小」が見えますね！