０２１	平成２１年度前期	横浜国立大学	工学部	・・・	図形と式（数学�U）	標準

　この問題は、図形の知識、解析幾何の知識の両面からアプローチでき、良問と思う。


横浜国立大学　工学部前期（２００９）

　ｘｙ 平面上に円 Ｃ ： ｘ²＋ｙ²＝１　がある。Ｃ の外部の点Ｐ（ ｓ ， ｔ ）　（ｓ≠±１）からＣへ
引いた２つの接線と直線 ｘ＝１ との交点をＱ、Ｒ とする。次の問いに答えよ。

（１）　線分ＱＲの長さを ｓ ， ｔ を用いて表せ。

（２）　ＱＲの長さが １ であるようにＰが動くとき、Ｐの軌跡を求め、図示せよ。


（解）（１）　座標軸の原点を Ｏ とすると、　ＯＰ²＝ｓ²＋ｔ²　である。

　　２つの場合に分けて考える。

（イ）　点Ｐが直線 ｘ＝１ の左側にあり、ｓ＜−１ の場合

△ＰＱＲ＝ＱＲ（１−ｓ）/２ 　　また、ＰＱ’＝ＰＲ’＝　なので、 　　　△ＰＱＲ＝＋ＱＲ 　　よって、 　　　ＱＲ（１−ｓ）＝２＋２ＱＲ 　　より、　ＱＲ＝−２/（ｓ＋１）

（ロ）　点Ｐが直線 ｘ＝１ の左側にあり、−１＜ｓ＜１ の場合

△ＰＱＲ＝ＱＲ（１−ｓ）/２ 　　また、ＰＱ’＝ＰＲ’＝　なので、 　　　四角形ＯＱ’ＱＨ＝ＱＨ　より、 　　ＱＲ（１−ｓ）/２＝ＱＨ−−ＲＨ 　　　　　　　　　　　＝ＱＲ− 　　より、　ＱＲ＝２/（ｓ＋１）

（ハ）　点Ｐが直線 ｘ＝１ の右側にある場合

△ＰＱＲ＝ＱＲ（ｓ−１）/２ 　　また、ＰＱ’＝ＰＲ’＝　なので、 　　　四角形ＰＱ’ＯＲ’＝ 　　よって、 　　　ＱＲ（ｓ−１）＝２−２ＱＲ 　　より、　ＱＲ＝２/（ｓ＋１）

　以上から、ＱＲの式をまとめると、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　（別解）　接線ＰＱの方程式を、ｙ＝ｍ（ｘ−ｓ）＋ｔ　とおくと、Ｑ のｙ 座標＝ｍ（１−ｓ）＋ｔ

　　　　　　　接線ＰＲの方程式を、ｙ＝ｎ（ｘ−ｓ）＋ｔ　とおくと、Ｒ のｙ 座標＝ｎ（１−ｓ）＋ｔ

　　　なので、　ＱＲ＝｜（ｍ−ｎ）（１−ｓ）｜　となる。

　　　　また、点と直線の距離の公式より、

　　　　　　　　　、　　　

　　　よって、　ｍ²（ｓ²−１）−２ｓｔｍ＋ｔ²−１＝０　、　ｎ²（ｓ²−１）−２ｓｔｎ＋ｔ²−１＝０

　　　このことから、　ｍ、ｎ　は２次方程式　ｘ²（ｓ²−１）−２ｓｔｘ＋ｔ²−１＝０　の解なので、

　　　解と係数の関係から、　ｍ＋ｎ＝２ｓｔ/（ｓ²−１）　、　ｍｎ＝（ｔ²−１）/（ｓ²−１）

　　　このとき、　（ｍ−ｎ）²＝（ｍ＋ｎ）²−４ｍｎ

　　　　　　　　　　　　　　　　＝４ｓ²ｔ²/（ｓ²−１）²−４（ｔ²−１）/（ｓ²−１）

　　　　　　　　　　　　　　　　＝４（ｓ²＋ｔ²−１）/（ｓ²−１）²

　　　これを、ＱＲ＝｜（ｍ−ｎ）（１−ｓ）｜　に代入して整理すると、

　　　　　　　　　　　
　　　となる。

　　　（コメント）　別解の方法には「美しさ」が漂っていますね！でも、この解法を試験場で
　　　　　　　　　思いつくのは大変かな？本解では、中学校の幾何レベルで泥臭く解いて見
　　　　　　　　　ました！

（２）　ＱＲ＝１　なので、　（２）²＝（ｓ＋１）²　より、

　　　　　　　３ｓ²＋４ｔ²−２ｓ−５＝０

　　　　ここで、ｓ＝±１　のとき、　ｔ＝０、±１　なので、

　　　求める軌跡の方程式は、　３ｘ²＋４ｙ²−２ｘ−５＝０

　　　ただし、点（ １ ， １ ）（ １ ， −１ ）（ −１ ， ０ ）　は除かれる。

　　　　　　　

（追記）　平成２１年３月４日付け

　当ＨＰがいつもお世話になっているＳ（Ｈ）さんが、上記の問題を次のように拡張された。

　ｘｙ 平面上に楕円 Ｃ ： ｘ²/ａ²＋ｙ²/ｂ²＝１　（ ａ＞ｂ＞０ ）がある。
Ｃ の外部の点Ｐ（ ｓ ， ｔ ）　（ｓ≠±ａ）からＣへ引いた２つの接線と直線 ｘ＝ａ との交点をＱ、
Ｒ とする。次の問いに答えよ。

（１）　線分ＱＲの長さを ｓ ， ｔ を用いて表せ。

（２）　ＱＲの長さが ｄ であるようにＰが動くとき、Ｐの軌跡を求め、図示せよ。

　ここでは、ａ＝２、ｂ＝１、ｄ＝２　として解いてみよう。

（解）　（１）　接線ＰＱの方程式を、ｙ＝ｍ（ｘ−ｓ）＋ｔ　とおくと、Ｑ のｙ 座標＝ｍ（２−ｓ）＋ｔ

　　　　接線ＰＲの方程式を、ｙ＝ｎ（ｘ−ｓ）＋ｔ　とおくと、Ｒ のｙ 座標＝ｎ（２−ｓ）＋ｔ

　　　なので、　ＱＲ＝｜（ｍ−ｎ）（２−ｓ）｜　となる。

　　　　また、直線の方程式　ｙ＝ｍ（ｘ−ｓ）＋ｔ　を楕円の方程式　ｘ²/４＋ｙ²＝１　に代入し

　　　て整理すると、

　　　　　　　（４ｍ²＋１）ｘ²＋８ｍ（ｔ−ｍｓ）ｘ＋４（ｍ²ｓ²−２ｍｓｔ＋ｔ²−１）＝０

　　　接する条件から、判別式をとって、

　　　　　　　１６ｍ²（ｔ−ｍｓ）²−４（４ｍ²＋１）（ｍ²ｓ²−２ｍｓｔ＋ｔ²−１）＝０

　　　　よって、展開して整理すると、

　　　　　　　（４−ｓ²）ｍ²＋２ｍｓｔ−ｔ²＋１＝０

　　　　同様にして、　（４−ｓ²）ｎ²＋２ｎｓｔ−ｔ²＋１＝０

　　　以上から、ｍ、ｎ は２次方程式　（４−ｓ²）ｘ²＋２ｓｔｘ−ｔ²＋１＝０　の解となる。

　　　解と係数の関係から、　ｍ＋ｎ＝２ｓｔ/（ｓ²−４）　、　ｍｎ＝（ｔ²−１）/（ｓ²−４）

　　　このとき、　（ｍ−ｎ）²＝（ｍ＋ｎ）²−４ｍｎ

　　　　　　　　　　　　　　　　＝４ｓ²ｔ²/（ｓ²−４）²−４（ｔ²−１）/（ｓ²−４）

　　　　　　　　　　　　　　　　＝４（ｓ²＋４ｔ²−４）/（ｓ²−４）²

　　　これを、ＱＲ＝｜（ｍ−ｎ）（２−ｓ）｜　に代入して整理すると、

　　　　　　　　　　　
　　　となる。

（２）　ＱＲ＝２　のとき、　ｓ²＋４ｔ²−４＝（ｓ＋２）²　から、　ｔ²＝ｓ＋２　なので、

　　　求める軌跡の方程式は、　ｙ²＝ｘ＋２　となる。

　　　ただし、点（ −２ ， ０ ）　は除かれる。

　　　　　

　　　（注意）　ｘ²＋４ｙ²＝４　に、ｙ²＝ｘ＋２　を代入すると、　ｘ²＋４ｘ＋４＝０　なので、
　　　　　　　　楕円と放物線は、点（ −２ ， ０ ）のみで接している。

（コメント）　横国の問題の場合も同様だが、上図の点（ −２ ， ０ ）の近傍の点における接
　　　　　　線の様子が微妙ですね！と、Ｓ（Ｈ）さんが指摘されている。

　　　　　　　楕円に接する２接線を描いたときに、遥か彼方で直線 ｘ＝２ を切りとる線分の
　　　　　　長さが ２ になっている様を頭では理解できても、実際に図示するとなると至難の
　　　　　　技かな．．．？

　当ＨＰがいつもお世話になっているＳ（Ｈ）さんが、さらに、次のように拡張された。

　ｘｙ 平面上に楕円 Ｃ ： ｘ²/ａ²＋ｙ²/ｂ²＝１　（ ａ＞ｂ＞０ ）がある。
Ｃ の外部の点Ｐ（ ｓ ， ｔ ）　（ｓ≠±ａ）からＣへ引いた２つの接線と直線 ｘ＝ｍ との交点をＱ、
Ｒ とする。次の問いに答えよ。

（１）　線分ＱＲの長さを ｓ ， ｔ ， ｍ を用いて表せ。

（２）　ＱＲの長さが ｄ であるようにＰが動くとき、Ｐの軌跡を求め、図示せよ。

　上記で、　ａ＝１　、ｂ＝１　と特殊化し、

　　　(イ)　ｍ＝２　、ｄ＝７
　　　(ロ)　ｍ＝３　、ｄ＝５

などと、ｍ、ｄ の値をいろいろ変えて、Ｐが動くときのＰの軌跡を求めてみることも面白いの
では？と、Ｓ（Ｈ）さんが仰っている。