０１９	平成２１年度前期	横浜国立大学	工学部	・・・	微分積分（数学�V）	標準

　横浜国立大学入試問題の特徴は、これでもかというくらいに計算量に圧倒されることだろ
う。したがって、見通しを持って計算しないと青木ヶ原樹海を彷徨う心境になること必定であ
る。


横浜国立大学　工学部前期（２００９）

　ｘｙ 平面上に曲線 Ｃ ： ｙ＝ｘ²　がある。Ｃ 上の点Ｐ（ ｔ ， ｔ² ）を次の条件(*)を満たすよう
にとる。

(*)　Ｐ以外のＣ上の異なる２点Ｑ、Ｒがあり、そこでのＣの法線がともにＰを通る

Ｑ（ α ， α² ）、Ｒ（ β ， β² ）　（α＜β）とするとき、次の問いに答えよ。

（３）　β を ｔ の式で表し、極限

を求めよ。

（解）（１）　ｙ’＝２ｘ　より、点Ｑにおける法線の方程式は、

　　　　ｙ＝−｛１/（２α）｝（ｘ−α）＋α²＝−｛１/（２α）｝ｘ＋α²＋１/２

　　　　この法線は、点Ｐを通るので、　ｔ²＝−｛１/（２α）｝ｔ＋α²＋１/２

　　同様にして、点Ｒでの法線の方程式を考えて、　ｔ²＝−｛１/（２β）｝ｔ＋β²＋１/２

　よって、α 、β は方程式　ｔ²＝−｛１/（２ｘ）｝ｔ＋ｘ²＋１/２　の異なる２つの実数解である。

　分母を払って整理すると、　２ｘ³＋（１−２ｔ²）ｘ−ｔ＝０

　この３次方程式は因数分解されて、　（ｘ−ｔ）（２ｘ²＋２ｔｘ＋１）＝０

　Ｑ、ＲはＰと異なる点であるので、α 、β は方程式　２ｘ²＋２ｔｘ＋１＝０　の異なる２つの

実数解である。よって、判別式をＤとすると、

　　　Ｄ/４＝ｔ²−２＞０　より、　ｔ＜−　、　＜ｔ

　　　（別解）　Ｃ上の点（ ｓ ， ｓ² ）と点Ｐを結ぶ線分の傾きは、　ｓ＋ｔ

　　　　　また、点（ ｓ ， ｓ² ）における接線の傾きは、　２ｓ

　　　　よって、これら２つの線分は垂直なので、　２ｓ（ｓ＋ｔ）＝−１

　　　　　　すなわち、　２ｓ²＋２ｓｔ＋１＝０

　　　　このとき、２次方程式 ２ｘ²＋２ｔｘ＋１＝０　は異なる２つの実数解 α、β を持つので、

　　　　判別式をＤとすると、　Ｄ/４＝ｔ²−２＞０　より、　ｔ＜−　、　＜ｔ　（別解終）

（２）　２ｘ²＋２ｔｘ＋１＝０　において、解と係数の関係から、

　　　　　　α＋β＝−ｔ　、　αβ＝１/２

　　Ｍ（ ｘ ， ｙ ）とおくと、　ｘ＝（α＋β）/２＝−ｔ/２　より、　ｔ＝−２ｘ

　　ｙ＝（α²＋β²）/２＝｛（α＋β）²−２αβ｝/２＝（ｔ²−１）/２＝（４ｘ²−１）/２

　　すなわち、軌跡の方程式は、　ｙ＝（４ｘ²−１）/２　（ｘ＜−１/　、　ｔ＞１/）

（３）　ｔβ＝−（２β²＋１）/２　において、　ｔ　→　∞　のとき、β　→　０　なので、

　　　ｔβ　→　−１/２　である。

（コメント）　２ｘ³＋（１−２ｔ²）ｘ−ｔ＝０　が因数分解できることに最初気がつかなくて、３次関
　　　　　　数の極値の積が異符号から ｔ の範囲を求めました。ただ、計算途中で偶然に因
　　　　　　数分解できることが分かり、それまでの計算量の多さに辟易していたところなので、
　　　　　　何となく救われた気持ちになりました！こんな問題を出題された横国の先生は心
　　　　　　憎いですね．．．。