０１７	平成２１年度前期	東京工業大学	理系	・・・	整数問題（数学�U）	標準

　東京工業大学の入試問題と言えば、整数問題が頻出ということで、今年度も出題された。

　今年の問題は飛びきりに難しいレベルではなく、高校数学で学んだことを駆使すれば誰で
もが正解に達する良識的な良問であった。


東京工業大学　理系（２００９）

　Ｎを正の整数とする。２Ｎ以下の正の整数 ｍ 、ｎ からなる組（ ｍ ， ｎ ）で
方程式 ｘ²−ｎｘ＋ｍ＝０ がＮ以上の実数解を持つようなものは何個あるか。


　この問題では、解の分離問題、領域の知識が問われ、まず何を求めるのかを図示する
ことがポイントになるだろう。

（解）　Ｆ（ｘ）＝ｘ²−ｎｘ＋ｍ　とおく。　軸の方程式は、　ｘ＝ｎ/２　で、　ｎ≦２Ｎ　より、

　　　ｘ＝ｎ/２≦Ｎ　である。

　　よって、方程式 ｘ²−ｎｘ＋ｍ＝０　がＮ以上の実数解を持つための必要十分条件は、

　　　Ｆ（Ｎ）≦０　すなわち、　Ｎ²−ｎＮ＋ｍ≦０　である。

　　（イ）　Ｎ＝１　のとき、　ｍ≦ｎ−１　、１≦ｍ≦２　、１≦ｎ≦２　を満たす正の整数の組

　　　　（ ｍ ， ｎ ）の個数を調べればよい。

　　　　条件を満たす組は、（ ｍ ， ｎ ）＝（ １ ， ２ ）　の１組のみである。


　　（ロ）　Ｎ≧２　のとき、　ｍ≦Ｎ・ｎ−Ｎ²　、１≦ｍ≦２Ｎ　、１≦ｎ≦２Ｎ　を満たす正の整

　　　　数の組（ ｍ ， ｎ ）の個数を調べればよい。

　　左図において、条件を満たす組の

　個数は、

　　Ｎ＋２Ｎ＋２Ｎ｛２Ｎ−（Ｎ＋２）｝

　＝２Ｎ²−Ｎ

　である。

　この式は、Ｎ＝１のときも成り立つ。

　したがって、求める個数は、

　　　　２Ｎ²−Ｎ　（個）

　である。　（終）





（コメント）　平成２１年２月２８日現在で、河合塾、代ゼミはまだこの問題の解答を公表して
　　　　　　いないが、駿台に先を越されてしまった。昨日解答をアップすべきであったと後悔！

　問題文では整数の組（ ｍ ， ｎ ）となっているが、実際に数えるのは整数の組（ ｎ ， ｍ ）
の方。この方が簡潔に数えられる。駿台の方もそのように言及されている。

　整数の組（ ｎ ， ｍ ）とすべきところを、整数の組（ ｍ ， ｎ ）としたのは出題者のイジワル
か、はたまた、「それぐらい気がつけヨ！」という叱咤激励なのだろうか？