０１５	平成　８年度前期	東京工業大学	理系	・・・	微分積分（数学�V）	標準

　受験生にとって苦手な整数問題（第１問）で驚かせておいて、この第４問で帳尻を合わせ
た感のある微分積分の標準問題である。数学�Vで学ぶいろいろな知識が試される点で受
験数学の良問と言えよう。


東京工業大学　理系（１９９６）

　関数 Ｆ（ｘ） は微分可能で、次の（イ）、（ロ）、（ハ）を満たすものとする。
　　（イ）　ｘ≧０　のとき、　Ｆ’（ｘ）＞０
　　（ロ）　Ｆ（０）＝ａ　（ただし、　ａ＞１）
　　（ハ）　曲線　ｙ＝Ｆ（ｘ） 上の点Ｐ（ ｔ ， Ｆ（t） ）　（ ｔ≧０ ）　における接線と ｘ 軸との交点
　　　　　をＱ、法線と ｘ 軸との交点をＲとしたとき、線分ＱＲの長さ Ｇ（ｔ） は関係式
　　　　　　　　　　　　　Ｇ（ｔ）/Ｆ（t）＝Ｆ（t）/Ｆ’（t）
　　　　　を満たす。

　このとき、次の問いに答えよ。
（１）　ｘ＞０　で、Ｆ’（ｘ）　は単調増加で、ｈ＞０　に対し、Ｆ（ｘ＋ｈ）−Ｆ（ｘ）≧ｈ
　　を満たすことを示せ。
（２）　点Ｐが曲線 ｙ＝Ｆ（ｘ） （ ｘ≧０ ）　上を動くとき、Ｇ（ｔ） の最小値を求めよ。


　この問題構成では、（１）が主要部で、（２）は「おまけ」の問題だろう。

（解）　（１）　流通座標を、（Ｘ，Ｙ）として、点Ｐにおける接線の方程式は、

　　　　　　　　　Ｙ＝Ｆ’（ｔ）（Ｘ−ｔ）＋Ｆ（ｔ）

　　　　　　　Ｙ＝０　として、　Ｘ＝ｔ−Ｆ（ｔ）/Ｆ’（ｔ）

　　　　　　　これは、点Ｑの ｘ 座標である。　同様にして、点Ｐにおける法線の方程式は、

　　　　　　　　　Ｙ＝｛−１/Ｆ’（ｔ）｝（Ｘ−ｔ）＋Ｆ（ｔ）

　　　　　　　Ｙ＝０　として、　Ｘ＝ｔ＋Ｆ（ｔ）Ｆ’（ｔ）

　　　　　　　これは、点Ｒの ｘ 座標である。

　　　　　　　（イ）より、Ｆ（ｘ）は単調に増加するので、

　　　　　　　　　Ｇ（ｔ）＝ｔ＋Ｆ（ｔ）Ｆ’（ｔ）−｛ｔ−Ｆ（ｔ）/Ｆ’（ｔ）｝＝Ｆ（ｔ）Ｆ’（ｔ）＋Ｆ（ｔ）/Ｆ’（ｔ）

　　　　　　　与えられた関係式　Ｇ（ｔ）/Ｆ（t）＝Ｆ（t）/Ｆ’（t）　に代入して、整理すると、

　　　　　　　　　　　　　　Ｆ（t）＝Ｆ’（t）²＋１

　　　　　　　両辺を微分して、　Ｆ’（t）＝２Ｆ’（t）Ｆ”（t）　となるので、Ｆ’（t）＞０　から、

　　　　　　　　　　　　　　Ｆ”（t）＝１/２＞０

　　　　　　　よって、　ｘ＞０　で、Ｆ’（ｘ）は単調増加である。

　　　　　　　　また、平均値の定理より、

　　　　　　　　　　Ｆ（ｘ＋ｈ）−Ｆ（ｘ）＝ｈＦ’（ｃ）　　（ ｘ＜ｃ＜ｘ＋ｈ ）

　　　　　　　となる ｃ が存在する。

　　　　　　　　　Ｆ’（ｘ）は単調増加であるので、　Ｆ’（ｃ）≧Ｆ’（０）≧　より、

　　　　　　　　　　　　　　　Ｆ（ｘ＋ｈ）−Ｆ（ｘ）≧ｈ

　　　　　　　が成り立つ。　（終）


　　（２）については、当初次のように解いていた。

　（誤答例）　Ｆ（ｔ）＞０　、Ｆ’（ｔ）＞０　であるので、相加平均と相乗平均との関係より、

　　　　　　　　　｛Ｆ（ｔ）Ｆ’（ｔ）＋Ｆ（ｔ）/Ｆ’（ｔ）｝/２≧＝ａ

　　　なので、　Ｇ（ｔ）＝Ｆ（ｔ）Ｆ’（ｔ）＋Ｆ（ｔ）/Ｆ’（ｔ）≧２ａ

　　　　よって、求める最小値は、　２ａ　である。　（終）


　上記について、当ＨＰ読者のＹ．Ｎ．さんから解答の誤りのご指摘を頂いた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年１０月１６日付け）

　最小値において、ａ＞１より等号成立条件を満たす ｔ は存在しません。ａにおける場合分
けを行って最小値を決定するしかない問題だと思います。

　１＜ａ≦４/３ のとき、　１６/９　、ａ＞４/３ のとき、　ａ²/　かと思います。


（コメント）　相加平均と相乗平均との関係で、等号が成立する条件は、

　　　　　　Ｆ（ｔ）Ｆ’（ｔ）＝Ｆ（ｔ）/Ｆ’（ｔ）　すなわち　Ｆ’（ｔ）＝１

　　　　のときで、＝ａ＞１　から、それは起こりえないということですね！

　　　　ちょっとうっかりしました。ご指摘頂いたＹ．Ｎ．さんに感謝します。

　（２）について、再考してみた。

（解）　（２）　与えられた関係式　Ｇ（ｔ）/Ｆ（t）＝Ｆ（t）/Ｆ’（t）　より、　Ｇ（ｔ）＝Ｆ（t）²/Ｆ’（t）

　　　また、　Ｆ（t）＝Ｆ’（t）²＋１　より、　Ｇ（ｔ）²＝Ｆ（t）⁴/（Ｆ（t）−１）

　　　Ｇ（ｔ）＞０　なので、Ｇ（ｔ）² が最小となるとき、Ｇ（ｔ）も最小となる。

　　　　そこで、Ｆ（t）＝ｘ　とおくと、ｘ≧ａ（＞１）で、このｘの範囲で、関数 ｙ＝ｘ⁴/（ｘ−１）の増

　　減を考える。　ｙ’＝ｘ³（３ｘ−４）/（ｘ−１）²　より、ｘ＝４/３　で極小かつ最小となる。

　　　よって、　１＜ａ≦４/３　のとき、　ｘ＝４/３　で、Ｇ（ｔ）は最小となる。

　　　　　　　　　　　　　このとき、最小値は、　（４/３）⁴/（４/３−１）＝２５６/２７　より、

　　　　　　　　　　　　　　　Ｇ（ｔ）の最小値は、　１６/３＝１６/９

　　　　　　　　　ａ＞４/３　のとき、　ｘ＝ａ　で、Ｇ（ｔ）は最小となる。

　　　　　　　　　　　　　このとき、最小値は、　ａ⁴/（ａ−１）　なので、

　　　　　　　　　　　　　　　Ｇ（ｔ）の最小値は、　ａ²/


（コメント）　冒頭で、（２）は、（１）の「おまけ」の問題としましたが、撤回します。（２）もそれ自
　　　　　　体で微分積分の力を試すのに最適な良問ですね。