０１２	平成２０年度前期	九州大学	理系	・・・	三角関数（数学�U）	標準

　予備校の判断では、「やや難」に属する問題らしいが、内容的には教科書の章末問題レ
ベルで比較的良問の範疇に入る問題だろう。

　直感的には答えが類推できるが、きっちり論述するには現役の高校生には厳しいかもし
れない。その意味を込めて、「やや難」なのかな？


九州大学　理系（２００８）

　いくつかの半径３の円を、半径２の円Ｑに外接し、かつ、互いに交わらないように配置す
る。このとき、次の問いに答えよ。
（１）　半径３の円の１つをＲとする。円Ｑの中心を端点とし、円Ｒに接する２本の半直線の
　　　なす角をθとおく。ただし、０＜θ＜πとする。このとき、ｓｉｎθを求めよ。
（２）　π/３＜θ＜π/２　を示せ。
（３）　配置できる半径３の円の最大個数を求めよ。

　長さの指定があるので、それに忠実に従って作図すると、下図のようになる。

　　　　　　　

　上図から、π/３＜θ＜π/２　であることは十分予想されるし、配置できる円の最大個数
も４個であることが瞬時に了解されることだろう。

　やはり、数学は問題の意味することを絵にすると、半ば解けたも同然ですね！

（解）　（１）　ｓｉｎ（θ/２）＝３/５　なので、　ｃｏｓ（θ/２）＝４/５

　　　　　　　よって、　ｓｉｎθ＝２ｓｉｎ（θ/２）ｃｏｓ（θ/２）＝２４/２５

　　　　（２）　ｃｏｓθ＝２ｃｏｓ²（θ/２）−１＝７/２５　で、　０＜ｃｏｓθ＜１/２　より、

　　　　　　　π/３＜θ＜π/２　が成り立つ。

　　　　（３）　α＝２π/５　とおくと、　５α＝２π　なので、　３α＝２π−２α

　　　　　　　よって、　ｓｉｎ３α＝ｓｉｎ（２π−２α）＝−ｓｉｎ２α　において、

　　　　　　　２倍角の公式および３倍角の公式より、

　　　　　　　　　　３ｓｉｎα−４ｓｉｎ³α＝−２ｓｉｎαｃｏｓα

　　　　　　　ｓｉｎα≠０　なので、　３−４ｓｉｎ²α＝−２ｃｏｓα

　　　　　　　ｓｉｎ²α＝１−ｃｏｓ²α　なので、　４ｃｏｓ²α＋２ｃｏｓα−１＝０

　　　　　　　　よって、　　４ｃｏｓα＝−１±　であるが、ｃｏｓα＞０　なので、

　　　　　　　　　　　　　　　４ｃｏｓα＝−１＋

　　　　　　　　　　　４×（７/２５）＋１＝５３/２５＜５５/２５＝１１/５

　　　　　　　　　　（１１/５）²＝１２１/２５＜５　なので、　１１/５＜

　　　　　　　　すなわち、　　　４×（７/２５）＋１＜　より、　ｃｏｓθ＜ｃｏｓα

　　　　　　　　　したがって、　θ＞２π/５　より、　５θ＞２π

　　　　　　　　以上から、配置できる円の最大個数は、４個である。　（終）

（コメント）　（３）は、（２）におけるθの評価が甘かった！という出題者の反省から生まれた
　　　　　　ものだろう。π/３＜θ＜π/２　から配置できる円の最大個数は、明らかに ４個
　　　　　　または ５個 であるが、そこをもう少し詳しく吟味して欲しいという問題である。

　　　　　　　５θが２πを超えるかどうかを判断すればよいので、上記のような解答が自然
　　　　　　に導かれる。