００９	平成１９年度前期	東京大学	文系	・・・	整数論	標準

　今年の東京大学の問題は、これというほどの難問はなかったようだ。素直に考えれば解
ける問題ばかりで、数学が得意な受験生にとっては厳しい入試になりそうな．．．予感！


東京大学　文系（２００７）

　正の整数の下２桁とは、１００ の位以上を無視した数をいう。たとえば、２０００、１２３４５
の下２桁は、それぞれ ０、４５ である。
　ｍ が正の整数全体を動くとき、５ｍ⁴ の下２桁として現れる数をすべて求めよ。

（解） 任意の正の整数 ｍ は、

　　　　　　ｍ＝１０×Ｎ＋ｎ　　（Ｎは、０以上の整数、ｎ は０〜９の整数で、Ｎ²＋ｎ²≠０）

　　と書ける。　このとき、　５ｍ⁴≡５ｎ⁴　（ｍｏｄ　１００）　が成り立つ。

　　　ｎ＝０　のとき、　５ｍ⁴≡５ｎ⁴＝０　（ｍｏｄ　１００）

　　　ｎ＝１　のとき、　５ｍ⁴≡５ｎ⁴＝５　（ｍｏｄ　１００）

　　　ｎ＝２　のとき、　５ｍ⁴≡５ｎ⁴＝８０　（ｍｏｄ　１００）

　　　ｎ＝３　のとき、　５ｍ⁴≡５ｎ⁴≡５　（ｍｏｄ　１００）

　　　ｎ＝４　のとき、　５ｍ⁴≡５ｎ⁴≡８０　（ｍｏｄ　１００）

　　　ｎ＝５　のとき、　５ｍ⁴≡５ｎ⁴≡２５　（ｍｏｄ　１００）

　　　ｎ＝６　のとき、　５ｍ⁴≡５ｎ⁴≡８０　（ｍｏｄ　１００）

　　　ｎ＝７　のとき、　５ｍ⁴≡５ｎ⁴≡５　（ｍｏｄ　１００）

　　　ｎ＝８　のとき、　５ｍ⁴≡５ｎ⁴≡８０　（ｍｏｄ　１００）

　　　ｎ＝９　のとき、　５ｍ⁴≡５ｎ⁴≡５　（ｍｏｄ　１００）

　　以上から、求める数は、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　０　、　５　、　２５　、　８０　　　　（終）