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009 平成19年度前期 東京大学 文系 ・・・ 整数論  標準

 今年の東京大学の問題は、これというほどの難問はなかったようだ。素直に考えれば解
ける問題ばかりで、数学が得意な受験生にとっては厳しい入試になりそうな...予感!


東京大学 文系(2007)

 正の整数の下2桁とは、100 の位以上を無視した数をいう。たとえば、2000、12345
の下2桁は、それぞれ 0、45 である。
 m が正の整数全体を動くとき、5m4 の下2桁として現れる数をすべて求めよ。


(解) 任意の正の整数 m は、

      m=10×N+n  (Nは、0以上の整数、n は0〜9の整数で、N2+n2≠0)

  と書ける。 このとき、 5m4≡5n4 (mod 100) が成り立つ。

   n=0 のとき、 5m4≡5n4=0 (mod 100)

   n=1 のとき、 5m4≡5n4=5 (mod 100)

   n=2 のとき、 5m4≡5n4=80 (mod 100)

   n=3 のとき、 5m4≡5n4≡5 (mod 100)

   n=4 のとき、 5m4≡5n4≡80 (mod 100)

   n=5 のとき、 5m4≡5n4≡25 (mod 100)

   n=6 のとき、 5m4≡5n4≡80 (mod 100)

   n=7 のとき、 5m4≡5n4≡5 (mod 100)

   n=8 のとき、 5m4≡5n4≡80 (mod 100)

   n=9 のとき、 5m4≡5n4≡5 (mod 100)

  以上から、求める数は、
                  0 、 5 、 25 、 80    (終)