００８	平成１９年度前期	東京大学	理系	・・・	微分積分（数学�V）	やや難

　東京大学の問題で、これほど「素直？」な問題を今まで見たことがない。図形を意識すれ
ば、容易に解法が導けるだろう。受験生レベルから見て「やや難」ということだが、もしかし
たら、問題レベルは一昔前と比べて「易」かもしれない。

　個人的には、（２）のような問題に心引かれる。


東京大学　理系（２００７）

　以下の問いに答えよ。
（１）　０＜ｘ＜ａ をみたす実数 ｘ 、 ａ に対し、次を示せ。

　　　　　　　　　　　　　　

（２）　（１）を利用して、次を示せ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０．６８＜ｌｏｇ２＜０．７１

　　　ただし、ｌｏｇ２ は、２ の自然対数を表す。

（解）（１）　　０＜ａ−ｘ＜ａ＋ｘ　なので、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　は、下図の黄色い部分の面積である。

　　　　　　　　　

　　また、点（ ａ ， １/ａ ）における接線の方程式は、　ｙ＝（２ａ−ｔ）/ａ²　で、

　　　ｔ＝ａ−ｘ　のとき、　ｙ＝（ａ＋ｘ）/ａ²＞０

　　　ｔ＝ａ＋ｘ　のとき、　ｙ＝（ａ−ｘ）/ａ²＞０

　以上から、２点 Ｅ 、 Ｆ は第１象限にある。

　　このとき、図から明らかに、

台形ＡＢＥＦの面積

＜

＜

台形ＡＢＣＤの面積

　　　ここで、　台形ＡＢＥＦの面積＝２ｘ・（１/ａ）＝２ｘ/ａ

　　　　　　　　　台形ＡＢＣＤの面積＝（１/（ａ＋ｘ）＋１/（ａ−ｘ））・２ｘ・（１/２）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｘ（１/（ａ＋ｘ）＋１/（ａ−ｘ））

　　　以上から、（１）の不等式は成り立つ。

（２）　
　　　　

　　　であることに注意して、　（１）より、

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　よって、辺々加えて、　　　　０．６８５７・・・＜ｌｏｇ２＜０．７０８３・・・

　　すなわち、　　　０．６８＜ｌｏｇ２＜０．７１　　　　が成り立つ。　　（終）