大学入試では、不等式に関わる問題が頻出である。今までまとまったページがなかったの
で、ここで一念発起し、新しいページを起こしてまとめていきたい。
次の東北大学 後期文系（１９９２）の問題も手頃な不等式の問題である。
問題 ｘ≧０ のとき、つねに ｘ3−ａｘ＋１≧０ が成り立つように実数ａの範囲を定めよ。
（解） Ｆ（ｘ）＝ｘ3−ａｘ＋１ とおくと、 Ｆ’（ｘ）＝３ｘ2−ａ である。
よって、ａ≦０ のとき、 Ｆ’（ｘ）≧０ なので、 Ｆ（ｘ）は単調に増加する。
Ｆ（０）＝１ なので、ｘ≧０ のとき、つねに Ｆ（ｘ）≧０ が成り立つ。
ａ＞０ のとき、Ｆ’（ｘ）＝０ から、 ｘ＝±√（ａ/３）
ｘ≧０ のとき、ｘ＝√（ａ/３） において、極小かつ最小で、最小値 １−２√（ａ/３）3
よって、条件を満たすためには、 １−２√（ａ/３）3≧０ であればよい。
（ａ/３）3≦１/４ から、 ａ/３≦（１/２）
より、 ０＜ａ≦（３/２）以上から、求める実数ａの範囲は、 ａ≦（３/２）
（終）以下、工事中！