当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの投稿です。
（平成２６年４月１８日付け）
a2+b2-2ab=(a-b)2
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=(1/2)(a+b+c)((a-b)2+(b-c)2+(c-a)2)
なる等式を利用した、非負なる数に成立する相加平均と相乗平均の不等式の証明に、一度
はお目にかかった経験を持たれている方も多いことだろう。
そこで、こんな関係式が以降もとれるか挑戦してみた。
a4+b4+c4+d4-4abcd=(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2
a5+b5+c5+d5+e5-5abcde=？
a6+b6+c6+d6+e6+f6-6abcdef
=(1/2)(a2+b2+c2)((a2-b2)2+(b2-c2)2+(c2-a2)2)
+(1/2)(d2+e2+f2)((d2-e2)2+(e2-f2)2+(f2-d2)2)+3(abc-def)2
a7+b7+c7+d7+e7+f7+g7-7abcdefg=？
a8+b8+c8+d8+e8+f8+g8+h8-8abcdefgh
= (a4-b4)2+(c4-d4)2+2(a2b2-c2d2)2+(e4-f4)2+(g4-h4)2+2(e2f2-g2h2)2+4(abcd-efgh)2
挑戦するも跳ね返された！ｎ＝５、７の場合も作りたい。いろいろ文献やいろいろな人のサ
イトを渡り歩いて参考にできるヒントをかき集めたところ、次の事が起こせることがわかった。
n=4 のとき、 P1=(2(a2+ab+b2)+(a+b)(c+d)+2cd)/6 、P2=(2(a2+ac+c2)+(a+c)(b+d)+2bd)/6
P3=(2(a2+ad+d2)+(a+d)(b+c)+2bc)/6 、P4=(2(b2+bc+c2)+(b+c)(a+d)+2ad)/6
P5=(2(b2+bd+d2)+(b+d)(a+c)+2ac)/6 、P6=(2(c2+cd+d2)+(c+d)(a+b)+2ab)/6
で定義しておくと、これから、次の計算結果をもたらす。
P1(a-b)2+P2(a-c)2+P3(a-d)2+P4(b-c)2+P5(b-d)2+P6(c-d)2=a4+b4+c4+d4-4abcd
同様に、n=5 の場合では、
Q1 =(3(a^3+a^2*b+a*b^2+b^3)+(a^2+ab+b^2)(c+d+e)+(a+b)(cd+ce+de)+3cde)/12
Q2 =(3(a^3+a^2*c+a*c^2+c^3)+(a^2+ac+c^2)(b+d+e)+(a+c)(bd+be+de)+3bde)/12
Q3 =(3(a^3+a^2*d+a*d^2+d^3)+(a^2+ad+d^2)(c+b+e)+(a+d)(cb+ce+be)+3cbe)/12
Q4 =(3(a^3+a^2*e+a*e^2+e^3)+(a^2+ae+e^2)(c+d+b)+(a+e)(cd+cb+db)+3cdb)/12
Q5 =(3(c^3+c^2*b+c*b^2+b^3)+(c^2+cb+b^2)(a+d+e)+(c+b)(ad+ae+de)+3ade)/12
Q6 =(3(d^3+d^2*b+d*b^2+b^3)+(d^2+db+b^2)(c+a+e)+(d+b)(ca+ce+ae)+3cae)/12
Q7 =(3(e^3+e^2*b+e*b^2+b^3)+(e^2+eb+b^2)(c+d+a)+(e+b)(cd+ca+da)+3cda)/12
Q8 =(3(c^3+c^2*d+c*d^2+d^3)+(c^2+cd+d^2)(a+b+e)+(c+d)(ab+ae+be)+3abe)/12
Q9 =(3(c^3+c^2*e+c*e^2+e^3)+(c^2+ce+e^2)(a+d+b)+(c+e)(ad+ab+db)+3adb)/12
Q10=(3(d^3+d^2*e+d*e^2+e^3)+(d^2+de+e^2)(c+a+b)+(d+e)(ca+cb+ab)+3cab)/12
で定義しておくと、これから、次の計算結果に繋がる。
Q1(a-b)2+Q2(a-c)2+Q3(a-d)2+Q4(a-e)2+Q5(b-c)2+Q6(b-d)2
+Q7(b-e)2+Q8(c-d)2+Q9(c-e)2+Q10(d-e)2=a5+b5+c5+d5+e5-5abcde
n=6 では、
R1=(12(a^4+a^3*b+a^2*b^2+a*b^3+b^4)+3(a^3+a^2*b+a*b^2+b^3)(c+d+e+f)
+2(a^2+ab+b^2)(cd+ce+cf+de+df+ef)+3(a+b)(cde+cdf+cef+def)+12cdef)/60
R2=(12(a^4+a^3*c+a^2*c^2+a*c^3+c^4)+3(a^3+a^2*c+a*c^2+c^3)(b+d+e+f)
+2(a^2+ac+c^2)(bd+be+bf+de+df+ef)+3(a+c)(bde+bdf+bef+def)+12bdef)/60
R3=(12(a^4+a^3*d+a^2*d^2+a*d^3+d^4)+3(a^3+a^2*d+a*d^2+d^3)(c+b+e+f)
+2(a^2+ad+d^2)(cb+ce+cf+be+bf+ef)+3(a+d)(cbe+cbf+cef+bef)+12cbef)/60
R4=(12(a^4+a^3*e+a^2*e^2+a*e^3+e^4)+3(a^3+a^2*e+a*e^2+e^3)(c+d+b+f)
+2(a^2+ae+e^2)(cd+cb+cf+db+df+bf)+3(a+e)(cdb+cdf+cbf+dbf)+12cdbf)/60
R5=(12(a^4+a^3*f+a^2*f^2+a*f^3+f^4)+3(a^3+a^2*f+a*f^2+f^3)(c+d+e+b)
+2(a^2+af+f^2)(cd+ce+cb+de+db+eb)+3(a+f)(cde+cdb+ceb+deb)+12cdeb)/60
R6=(12(c^4+c^3*b+c^2*b^2+c*b^3+b^4)+3(c^3+c^2*b+c*b^2+b^3)(a+d+e+f)
+2(c^2+cb+b^2)(ad+ae+af+de+df+ef)+3(c+b)(ade+adf+aef+def)+12adef)/60
R7=(12(d^4+d^3*b+d^2*b^2+d*b^3+b^4)+3(d^3+d^2*b+d*b^2+b^3)(c+a+e+f)
+2(d^2+db+b^2)(ca+ce+cf+ae+af+ef)+3(d+b)(cae+caf+cef+aef)+12caef)/60
R8=(12(e^4+e^3*b+e^2*b^2+e*b^3+b^4)+3(e^3+e^2*b+e*b^2+b^3)(c+d+a+f)
+2(e^2+eb+b^2)(cd+ca+cf+da+df+af)+3(e+b)(cda+cdf+caf+daf)+12cdaf)/60
R9=(12(f^4+f^3*b+f^2*b^2+f*b^3+b^4)+3(f^3+f^2*b+f*b^2+b^3)(c+d+e+a)
+2(f^2+fb+b^2)(cd+ce+ca+de+da+ea)+3(f+b)(cde+cda+cea+dea)+12cdea)/60
R10=(12(c^4+c^3*d+c^2*d^2+c*d^3+d^4)+3(c^3+c^2*d+c*d^2+d^3)(a+b+e+f)
+2(c^2+cd+d^2)(ab+ae+af+be+bf+ef)+3(c+d)(abe+abf+aef+bef)+12abef)/60
R11=(12(c^4+c^3*e+c^2*e^2+c*e^3+e^4)+3(c^3+c^2*e+c*e^2+e^3)(a+d+b+f)
+2(c^2+ce+e^2)(ad+ab+af+db+df+bf)+3(c+e)(adb+adf+abf+dbf)+12adbf)/60
R12=(12(c^4+c^3*f+c^2*f^2+c*f^3+f^4)+3(c^3+c^2*f+c*f^2+f^3)(a+d+e+b)
+2(c^2+cf+f^2)(ad+ae+ab+de+db+eb)+3(c+f)(ade+adb+aeb+deb)+12adeb)/60
R13=(12(d^4+d^3*e+d^2*e^2+d*e^3+e^4)+3(d^3+d^2*e+d*e^2+e^3)(c+a+b+f)
+2(d^2+de+e^2)(ca+cb+cf+ab+af+bf)+3(d+e)(cab+caf+cbf+abf)+12cabf)/60
R14=(12(d^4+d^3*f+d^2*f^2+d*f^3+f^4)+3(d^3+d^2*f+d*f^2+f^3)(c+a+e+b)
+2(d^2+df+f^2)(ca+ce+cb+ae+ab+eb)+3(d+f)(cae+cab+ceb+aeb)+12caeb)/60
R15=(12(e^4+e^3*f+e^2*f^2+e*f^3+f^4)+3(e^3+e^2*f+e*f^2+f^3)(c+d+a+b)
+2(e^2+ef+f^2)(cd+ca+cb+da+db+ab)+3(e+f)(cda+cdb+cab+dab)+12cdab)/60
で定義しておけば、これから、次の計算結果を産み出す。
R1(a-b)2+R2(a-c)2+R3(a-d)2+R4(a-e)2+R5(a-f)2+R6(b-c)2+R7(b-d)2+R8(b-e)2+R9(b-f)2
+R10(c-d)2+R11(c-e)2+R12(c-f)2+R13(d-e)2+R14(d-f)2+R15(e-f)2=a6+b6+c6+d6+e6+f6-6abcdef
勿論コンピュータの計算ソフトを活用して確認をしていったわけですが、一カ所タイプミスをす
ると、結果が大きくずれてしまい、間違ったときの点検が大変でした。
ただ、ここで、n=7 をずいぶん挑戦していたのですが、まだその結果が見いだせないままに
なっています。実際にやってみて、これを思いついた人の想像力と数式のマジックに驚愕しま
した。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年４月１９日付け）
私も昨晩枕上で、n=5 までは自力で作れました。しかし、n=5 の式が長すぎて検算で挫折。
Wolfram先生もさすがにこの長いのは扱ってくれませんでした。
a2+b2-2ab=(a-b)2 、2(a3+b3+c3-3abc)=(a+b+c)((a-b)2+(b-c)2+(c-a)2)
6(a4+b4+c4+d4-4abcd)
=(2a^2+2b^2+c^2+d^2+4ab+2cd)(a-b)^2+(2b^2+2c^2+d^2+a^2+4bc+2da)(b-c)^2
+(2c^2+2d^2+a^2+b^2+4cd+2ab)(c-d)^2+(2d^2+2a^2+b^2+c^2+4da+2bc)(d-a)^2
+(2a^2+2c^2+b^2+d^2+4ac+2bd)(a-c)^2+(2b^2+2d^2+a^2+c^2+4bd+2ac)(b-d)^2
12(a5+b5+c5+d5+e5-5abcde)
=(3a^3+3b^3+c^3+d^3+e^3+6a^2b+6ab^2+acd+ade+aec+bcd+bde+bec+3cde)(a-b)^2
+(3b^3+3c^3+d^3+e^3+a^3+6b^2c+6bc^2+bde+bea+bad+cde+cea+cad+3dea)(b-c)^2
+(3c^3+3d^3+e^3+a^3+b^3+6c^2d+6cd^2+cea+cab+cbe+dea+dab+dbe+3eab)(c-d)^2
+(3d^3+3e^3+a^3+b^3+c^3+6d^2e+6de^2+dab+dbc+dca+eab+ebc+eca+3abc)(d-e)^2
+(3e^3+3a^3+b^3+c^3+d^3+6e^2a+6ea^2+ebc+ecd+edb+abc+acd+adb+3bcd)(e-a)^2
+(3a^3+3c^3+e^3+b^3+d^3+6a^2c+6ac^2+aeb+abd+ade+ceb+cbd+cde+3ebd)(a-c)^2
+(3b^3+3d^3+a^3+c^3+e^3+6b^2d+6bd^2+bac+bce+bea+dac+dce+dea+3ace)(b-d)^2
+(3c^3+3e^3+b^3+d^3+a^3+6c^2e+6ce^2+cbd+cda+cab+ebd+eda+eab+3bda)(c-e)^2
+(3d^3+3a^3+c^3+e^3+b^3+6d^2a+6da^2+dce+deb+dbc+ace+aeb+abc+3ceb)(d-a)^2
+(3e^3+3b^3+d^3+a^3+c^3+6e^2b+6eb^2+eda+eac+ecd+bda+bac+bcd+3dac)(e-b)^2
※PARI/GP をインストールして使ってみたところ、これで正しいことが確認できています。
法則性としてはGAIさんの解の方が一般性がありそうなので、この解の価値は今さらあま
りないかもしれませんが．．．。
何となく、n≧4 では複数作れそうだと感じてはいましたが、実際、GAIさんと作った式が違
うので（n=5は、こちらの間違いなだけかもしれませんが）、うまく選べばあるパターンで一般
の次数について表せるのかもしれません。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年４月１９日付け）
n=4 のときを、私の計算ソフトで確認しましたら、確かに合っていました。
n=5 のときを、同様にやってみたら、次の結果を返しました。
12a5-6d2a3+(12d3+6ed2)a2+(6e2b2+(-60edc-12e3)b+(-6d4-12ed3+6e4))a
+(12b5-6e2b3+12e3b2-6e4b+(12c5+(12d5+6ed4+12e5)))
（※）余りにも長い式なので、もう一人ほど外に確認して貰った方がいいかも・・・）
Mathematica でなくても、無料でダウンロードできるPARI/GPなる計算ソフト（数論に特化
されているような特徴をもつ）で十分計算してくれます。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年４月１９日付け）
GAIさんの解答見てて気づいたのですが、それらをちょっと変形して、
3次 A1= { (a+b) + c } /2
4次 P1= { (a2+ab+b2) + (a+b)(c+d)/2 + cd } /3
5次 Q1= { (a3+a2b+ab2+b3) + (a2+ab+b2)(c+d+e)/3 + (a+b)(cd+ce+de)/3 + cde}/4
6次 R1= { (a4+a3b+a2b2+ab3+b4) + (a3+a2b+ab2+b3)(c+d+e+f)/4
+ (a2+ab+b2)(cd+ce+cf+de+df+ef)/6 + (a+b)(cde+cdf+cef+def)/4 + cdef }/5
と来てるので、
7次 S1= { (a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5) + (a4+a3b+a2b2+ab3+b4)*(c+d+e+f+g)/5
+ (a3+a2b+ab2+b3)(cd+ce+cf+cg+de+df+dg+ef+eg+fg)/10
+ (a2+ab+b2)(cde+cdf+cdg+cef+ceg+cfg+def+deg+dfg+efg)/10
+ (a+b)(cdef+cdeg+cdfg+cefg+defg)/5 + cdefg }/6
8次 T1= { (a6+a5b+a4b2+a3b3+a2b4+ab5+b6) + (a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5)(c+d+e+f+g+h)/6
+ (a4+a3b+a2b2+ab3+b4)(cd+ce+cf+cg+ch+de+df+dg+dh+ef+eg+eh+fg+fh+gh)/15
+ (a3+a2b+ab2+b3)(cde+cdf+cdg+cgh+cef+ceg+ceh+cfg+cfh+cgh+def+deg+deh+dfg+dfh+dgh+efg+efh+egh+fgh)/20
+ (a2+ab+b2)(cdef+cdeg+cdeh+cdfg+cdfh+cdgh+cefg+cefh+cegh+cfgh+defg+defh+degh+dfgh+efgh)/15
+ (a+b)(cdefg+cdefh+cdegh+cdfgh+cefgh+defgh)/6 + cdefgh }/7
だったりしません？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年４月１９日付け）
有難うございます。このヒントで、n=7 の場合が完成しました。以下、Mathematica での流
れだけアップしておきます。
In[118]:= W[a_,b_,c_,d_,e_,f_,g_]
:=(10*(a^5+a^4*b+a^3*b^2+a^2*b^3+a*b^4+b^5)+2*(a^4+a^3*b+a^2*b^2+a*b^3+b^4)*(c+d+e+f+g)
+(a^3+a^2*b+a*b^2+b^3)*(c*d+c*e+c*f+c*g+d*e+d*f+d*g+e*f+e*g+f*g)
+(a^2+a*b+b^2)*(c*d*e+c*d*f+c*d*g+c*e*f+c*e*g+c*f*g+d*e*f+d*e*g+d*f*g+e*f*g)
+2*(a+b)(d*e*f*g+c*e*f*g+c*d*f*g+c*d*e*g+c*d*e*f)+10*c*d*e*f*g)/60
In[119]:= R1=W[a,b,c,d,e,f,g]
R2=W[a,c,b,d,e,f,g]、R3=W[a,d,c,b,e,f,g]、R4=W[a,e,c,d,b,f,g]、R5=W[a,f,c,d,e,b,g]、R6=W[a,g,c,d,e,f,b]
R7=W[c,b,a,d,e,f,g]、R8=W[d,b,c,a,e,f,g]、R9=W[e,b,c,d,a,f,g]、R10=W[f,b,c,d,e,a,g]、R11=W[g,b,c,d,e,f,a]
R12=W[c,d,a,b,e,f,g]、R13=W[c,e,a,d,b,f,g]、R14=W[c,f,a,d,e,b,g]、R15=W[c,g,a,d,e,f,b]、R16=W[d,e,c,a,b,f,g]
R17=W[d,f,c,a,e,b,g]、R18=W[d,g,c,a,e,f,b]、R19=W[e,f,c,d,a,b,g]、R20=W[e,g,c,d,a,f,b]、R21=W[f,g,c,d,e,a,b]
In[141]:=Expand[R1*(a-b)^2+R2*(a-c)^2+R3*(a-d)^2+R4*(a-e)^2+R5*(a-f)^2+R6*(a-g)^2
+R7*(b-c)^2+R8*(b-d)^2+R9*(b-e)^2+R10*(b-f)^2+R11*(b-g)^2+R12*(c-d)^2+R13*(c-e)^2
+R14*(c-f)^2+R15*(c-g)^2+R16*(d-e)^2+R17*(d-f)^2+R18*(d-g)^2+R19*(e-f)^2+R20*(e-g)^2+R21*(f-g)^2]
Out[141]= a^7+b^7+c^7+d^7+e^7+f^7-7 a b c d e f g+g^7
この調子で進めば、すべて構成できそうですね。助かりました。
DD++さんからのコメントです。（平成２６年４月１９日付け）
私の方でも、7乗、確認できました。21項書くよりこっちの方が編集が少し楽ですかね。
……あんまりかわらないかな？
gp > f7(a,b,c,d,e,f,g)=((a^5+a^4*b+a^3*b^2+a^2*b^3+a*b^4+b^5)+(a^4+a^3*b+a^2*b^2+a*b^3+b^4)*(c+d+e+f+g)/5
+(a^3+a^2*b+a*b^2+b^3)*(c*d+c*e+c*f+c*g+d*e+d*f+d*g+e*f+e*g+f*g)/10
+(a^2+a*b+b^2)*(c*d*e+c*d*f+c*d*g+c*e*f+c*e*g+c*f*g+d*e*f+d*e*g+d*f*g+e*f*g)/10
+(a+b)*(c*d*e*f+c*d*e*g+c*d*f*g+c*e*f*g+d*e*f*g)/5+c*d*e*f*g)/6
gp > g7(a,b,c,d,e,f,g)=(a-b)^2*f7(a,b,c,d,e,f,g)+(a-c)^2*f7(a,c,d,e,f,g,b)+(a-d)^2*f7(a,d,e,f,g,b,c)
+(a-e)^2*f7(a,e,f,g,b,c,d)+(a-f)^2*f7(a,f,g,b,c,d,e)+(a-g)^2*f7(a,g,b,c,d,e,f)
gp > (g7(a,b,c,d,e,f,g)+g7(b,c,d,e,f,g,a)+g7(c,d,e,f,g,a,b)+g7(d,e,f,g,a,b,c)+g7(e,f,g,a,b,c,d)+g7(f,g,a,b,c,d,e)+g7(g,a,b,c,d,e,f))/2
%23 = a^7 - 7*g*f*e*d*c*b*a + (b^7 + (c^7 + (d^7 + (e^7 + (f^7 + g^7)))))
あとは、これが本当に一般に成り立つかどうか。つまり、
ｎ変数基本対称式のk番目を、s[n,k](x[1],x[2],…,x[n])とする。即ち、x[1],x[2],…,x[n] から
k個選んで掛けあわせた nCk個の積の総和を s[n,k](x[1],x[2],…,x[n]) とする。また、s[n,0]=1
とする。
ｎは2以上の自然数として、
(∑[1≦i≦n] x[i]^n) - n Π[1≦i≦n] x[i]
= ∑[1≦i＜j≦n] (x[i]-x[j])^2 ∑[0≦k≦n-2] (∑[0≦m≦k] x[i]^m x[j]^(k-m))・
s[n-2,n-2-k](x[1],…,x[i-1],x[i+1],…,x[j-1],x[j+1],…,x[n]) /[n-2]C[n-2-k] /(n-1)
を示せ。
ができるかどうか。まずは基本対称式をどうにかうまく扱う必要がありますね。