不等式に遊ぶ 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　１次の多項式 Ｆ(Ｘ) ＝ａＸ＋ｂ （−１≦Ｘ≦１）において、その絶対値 | Ｆ(Ｘ) | の最大値を、
Ｍとする。

　このとき、| Ｆ(１) |＝| ａ＋ｂ |≦Ｍ、| Ｆ(−１) |＝| −ａ＋ｂ |≦Ｍ　が成り立つ。

また、 ａ＋ｂ ＝ Ｆ(１) 、−ａ＋ｂ ＝ Ｆ(−１) から、 ａ ＝（Ｆ(１)−Ｆ(−１)）/２

よって、
　　　　 | ａ | ＝ | （Ｆ(１)−Ｆ(−１)）/２ |≦（| Ｆ(１) |＋| Ｆ(−１) |）/２≦Ｍ
が成り立つ。

　ところで、 Ｆ(Ｘ) の導関数 Ｆ’(Ｘ) ＝ ａ なので、その絶対値 | Ｆ’(Ｘ) | の最大値を、Ｍ’と
すると、上記の計算は、次の不等式が成り立つことを意味する。

　　　　　　　　　　　　　　　Ｍ’≦Ｍ

　同様のことを、２次の多項式 Ｆ(Ｘ) ＝ａＸ²＋ｂＸ＋ｃ （−１≦Ｘ≦１）についても計算してみ
よう。
　絶対値 | Ｆ(Ｘ) | の最大値を Ｍ、 Ｆ(Ｘ) の導関数 Ｆ’(Ｘ) の絶対値 | Ｆ’(Ｘ) | の最大値を
Ｍ’とする。このとき、

　　　| Ｆ(１) |＝| ａ＋ｂ＋ｃ |≦Ｍ、| Ｆ(０) |＝| ｃ |≦Ｍ、| Ｆ(−１) |＝| ａ−ｂ＋ｃ |≦Ｍ

が成り立つ。

また、ａ＋ｂ＋ｃ ＝ Ｆ(１) 、ａ−ｂ＋ｃ ＝ Ｆ(−１) 、ｃ ＝ Ｆ(０) から、

　　　　　ａ ＝（ Ｆ(１)＋Ｆ(−１)）/２−Ｆ(０) 、ｂ ＝（ Ｆ(１)−Ｆ(−１)）/２

である。

さらに、 Ｆ’(Ｘ) ＝ ２ａＸ＋ｂ は、１次関数なので、Ｍ’＝ｍａｘ(| Ｆ’(１) |，| Ｆ’(−１) |) である。

ここで、| Ｆ’(１) | ＝ | ２ａ＋ｂ | ＝ | Ｆ(１)＋Ｆ(−１)−２Ｆ(０)＋（ Ｆ(１)−Ｆ(−１)）/２ |

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝ | (3/2) Ｆ(１)＋(1/2) Ｆ(−１)−２Ｆ(０) |

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ≦ (3/2)| Ｆ(１) |＋(1/2) | Ｆ(−１) |＋２| Ｆ(０) |≦４Ｍ

　　　　 | Ｆ’(−１) | ＝ | −２ａ＋ｂ | ＝ | −Ｆ(１)−Ｆ(−１)＋２Ｆ(０)＋（ Ｆ(１)−Ｆ(−１)）/２ |

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 ＝ | −(1/2) Ｆ(１)−(3/2) Ｆ(−１)＋２Ｆ(０) |

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 ≦ (1/2)| Ｆ(１) |＋(3/2) | Ｆ(−１) |＋２| Ｆ(０) |≦４Ｍ
よって、
　　　　　　　　　　　　　　　Ｍ’≦４Ｍ
が成り立つ。

　これらの事実から、一般的に次の定理が成り立つ。

定理（Ｍａｒｋｏｖ）

　　　　　ｎ次の多項式 Ｆ(Ｘ) （−１≦Ｘ≦１） において、その絶対値 | Ｆ(Ｘ) | の最大値を Ｍ、
　　　　 Ｆ(Ｘ) の導関数 Ｆ’(Ｘ) の絶対値 | Ｆ’(Ｘ) | の最大値を Ｍ’ とすると、

　　　　　　　　　　　　　　　Ｍ’≦ｎ²Ｍ

　　　　が成り立つ。


　この定理の一般的な証明は、とても難しいらしい。私自身、３次の多項式について証明を
試みたが、途中で挫折、思案中である。（できたら、報告します！）

（参考文献：安田　亨　著　入試数学伝説の良問１００　（講談社））


（恐^る恐_るの 追記）　上の定理の３次の場合の証明を、ずっと考えているが、未だ未完成で
　　　　　　　　　　　ある。とりあえず、現時点までの進捗状況だけでもと思い、中間報告を
　　　　　　　　　　　しておきたい。

　Ｆ’(Ｘ) ＝ ３ａ(Ｘ−ｍ)²＋ｂ　(ａ≠０)　とすると、　Ｆ(Ｘ) ＝ ａ(Ｘ−ｍ)³＋ｂ(Ｘ−ｍ)＋ｃ

　多項式 Ｆ(Ｘ) （−１≦Ｘ≦１） において、その絶対値 | Ｆ(Ｘ) | の最大値を Ｍとする。

このとき、　Ｆ(１) ＝ ａ(１−ｍ)³＋ｂ(１−ｍ)＋ｃ＝ｐ　とおくと、　| ｐ |≦Ｍ

　　　　　　　Ｆ(０) ＝ −ａｍ³−ｂｍ＋ｃ＝ｑ　とおくと、　| ｑ |≦Ｍ

　　　　　　　Ｆ(−１) ＝ −ａ(１＋ｍ)³−ｂ(１＋ｍ)＋ｃ＝ｒ　とおくと、　| ｒ |≦Ｍ

が成り立つ。さらに、

　　　ｐ − ｑ ＝ ａ−３ａｍ＋３ａｍ²＋ｂ　、　ｑ − ｒ ＝ ａ＋３ａｍ＋３ａｍ²＋ｂ

なので、−ｐ＋２ｑ−ｒ＝ ６ａｍ　が成り立つ。

　いま、　| ｍ |≧１　のときを考える。　

グラフの特性から、　Ｍ’＝ｍａｘ(| Ｆ’(１) |，| Ｆ’(−１) |) 　である。

　よって、Ｆ’(１) ＝ ３ａ(１−ｍ)²＋ｂ ＝ ２ａ−３ａｍ＋ｐ−ｑ　より、

　　　　| Ｆ’(１) |≦２| ａ |＋３| ａｍ |＋| ｐ |＋| ｑ |≦５| ａｍ |＋| ｐ |＋| ｑ |

　ここで、−ｐ＋２ｑ−ｒ＝ ６ａｍ　より、　６| ａｍ |≦| ｐ |＋２| ｑ |＋| ｒ |≦４Ｍ

すなわち、| ａｍ |≦ (2/3)Ｍ　なので、

　　　　| Ｆ’(１) |≦５| ａｍ |＋| ｐ |＋| ｑ |≦(10/3)Ｍ＋Ｍ＋Ｍ＝(16/3)Ｍ≦９Ｍ

　同様にして、Ｆ’(−１) ＝ ３ａ(１＋ｍ)²＋ｂ ＝ ２ａ＋３ａｍ＋ｑ−ｒ　より、

　　　　| Ｆ’(−１) |≦５| ａｍ |＋| ｑ |＋| ｒ |≦(10/3)Ｍ＋Ｍ＋Ｍ＝(16/3)Ｍ≦９Ｍ

　以上から、| ｍ |≧１　のとき、Ｍ’≦９Ｍ　すなわち、　Ｍ’≦３²Ｍ　が成り立つ。

　次に、| ｍ |≦１　のときを考える。

グラフの特性から、　Ｍ’＝ｍａｘ(| Ｆ’(１) |，| Ｆ’(ｍ) |，| Ｆ’(−１) |)　である。

　よって、Ｆ’(１) ＝ ３ａ(１−ｍ)²＋ｂ ＝ ２ａ−３ａｍ＋ｐ−ｑ　より、

　　　　| Ｆ’(１) |≦２| ａ |＋３| ａｍ |＋| ｐ |＋| ｑ |≦５| ａ |＋| ｐ |＋| ｑ |

　同様にして、Ｆ’(−１) ＝ ３ａ(１＋ｍ)²＋ｂ ＝ ２ａ＋３ａｍ＋ｑ−ｒ　より、

　　　　| Ｆ’(−１) |≦５| ａ |＋| ｑ |＋| ｒ |

　　　（　．．．　現在、証明を考え中！）

　ある計算をすると、| ａ |≦６Ｍ　が示されるが、これでは全然評価が甘いですね！
もう少し精密な評価をしないと駄目なようです。そんなわけで、今証明が止まっています。
「こうしたらどう？」というアドバイスを、よろしかったら、メールでお願いします。


（追々記）　定理の ３ 次の場合について、京都在住のハンドル名：大空風成さんという方
　　　　　　 から、肯定的に解決した旨のメールをいただいた。（平成１５年１１月１４日）

　下記に、若干計算や文言を補充して、掲載したいと思う。

　３次の多項式 Ｆ(Ｘ) ＝ａＸ³＋ｂＸ²＋ｃＸ＋ｄ （−１≦Ｘ≦１）について、

　絶対値 | Ｆ(Ｘ) | の最大値を Ｍ、 Ｆ(Ｘ) の導関数 Ｆ’(Ｘ) の絶対値 | Ｆ’(Ｘ) | の最大値を
Ｍ’とする。このとき、

　　　| Ｆ(１) |＝| ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ |≦Ｍ、| Ｆ(−1/2) |＝|−(1/8)ａ＋(1/4)ｂ−(1/2) ｃ＋ｄ |≦Ｍ、

　　　| Ｆ(−１) |＝| −ａ＋ｂ−ｃ＋ｄ |≦Ｍ、| Ｆ(1/2) |＝|(1/8)ａ＋(1/4)ｂ＋(1/2) ｃ＋ｄ |≦Ｍ

が成り立つ。

また、ａ、ｂ、ｃ、ｄ　についての連立方程式：　　　　 ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ ＝ Ｆ(１)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 −ａ＋ｂ−ｃ＋ｄ ＝ Ｆ(−１)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(1/8)ａ＋(1/4)ｂ＋(1/2) ｃ＋ｄ ＝ Ｆ(1/2)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　−(1/8)ａ＋(1/4)ｂ−(1/2) ｃ＋ｄ ＝ Ｆ(−1/2)

を解くと、ａ、ｂ、ｃ、ｄ　が、 Ｆ(１)、 Ｆ(−１)、Ｆ(1/2)、Ｆ(−1/2)　を用いて表される。

　実際に、　２ａ＋２ｃ＝Ｆ(１)−Ｆ(−１)　　 、 　２ｂ＋２ｄ＝Ｆ(１)＋Ｆ(−１)

　　　　　　　　ａ＋４ｃ＝４Ｆ(1/2)−４Ｆ(−1/2)　、ｂ＋４ｄ＝２Ｆ(1/2)＋２Ｆ(−1/2)

したがって、
　　　　　　　　３ａ＝２Ｆ(１)−２Ｆ(−１)−４Ｆ(1/2)＋４Ｆ(−1/2)

　　　　　　　　６ｃ＝−Ｆ(１)＋Ｆ(−１)＋８Ｆ(1/2)−８Ｆ(−1/2)

　　　　　　　　３ｂ＝２Ｆ(１)＋２Ｆ(−１)−２Ｆ(1/2)−２Ｆ(−1/2)

　　　　　　　　６ｄ＝−Ｆ(１)−Ｆ(−１)＋４Ｆ(1/2)＋４Ｆ(−1/2)

このとき、 Ｆ’(Ｘ) ＝３ａＸ²＋２ｂＸ＋ｃ　の絶対値 | Ｆ’(Ｘ) | の最大値について考える。

軸の方程式　Ｘ＝−b/(3ａ)　について、| −b/(3ａ) |＝| b/(3ａ) |＞１　のとき、

グラフの特性から、　Ｍ’＝ｍａｘ(| Ｆ’(１) |，| Ｆ’(−１) |) 　である。

ここで、| Ｆ’(１) |＝| ３ａ＋２ｂ＋ｃ |

　　　　 　　　　　 ＝| (2+(4/3)-(1/6))Ｆ(１)＋(-2+(4/3)+(1/6))Ｆ(−１)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋(-4-(4/3)+(4/3))Ｆ(1/2)＋(4-(4/3)-(4/3))Ｆ(−1/2) |

　　　　　　　 　　 ＝| (19/6)Ｆ(１)−(1/2)Ｆ(−１)−４Ｆ(1/2)＋(4/3)Ｆ(−1/2) |

　　　　　　　　　　≦ (19/6)Ｍ＋(1/2)Ｍ＋４Ｍ＋(4/3)Ｍ＝９Ｍ

　　　| Ｆ’(−１) |＝| ３ａ−２ｂ＋ｃ |

　　　　 　　　　　 ＝| (2-(4/3)-(1/6))Ｆ(１)＋(-2-(4/3)+(1/6))Ｆ(−１)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋(-4+(4/3)+(4/3))Ｆ(1/2)＋(4+(4/3)-(4/3))Ｆ(−1/2) |

　　　　　　　 　　 ＝| (1/2)Ｆ(１)−(19/6)Ｆ(−１)−(4/3)Ｆ(1/2)＋４Ｆ(−1/2) |

　　　　　　　　　　≦ (1/2)Ｍ＋(19/6)Ｍ＋(4/3)Ｍ＋４Ｍ＝９Ｍ

　以上から、| b/(3ａ) |＞１　のとき、Ｍ’≦９Ｍ　すなわち、　Ｍ’≦３²Ｍ　が成り立つ。

次に、| b/(3ａ) |≦１　のとき、

グラフの特性から、　Ｍ’＝ｍａｘ(| Ｆ’(１) |，| Ｆ’(−１) |，| Ｆ’(−b/(3ａ)) |) 　である。

| b/(3ａ) |＞１　のときと同様にして、　　| Ｆ’(１) |≦９Ｍ　、　| Ｆ’(−１) |≦９Ｍ　が成り立つ。

　　　　| Ｆ’(−b/(3ａ)) |＝| −ｂ²/(3ａ)＋ｃ |

　　　　　　　　　　　　　 ＝| −(b/(3ａ))・ｂ＋ｃ |≦| b/(3ａ) |・| ｂ |＋| ｃ |≦| ｂ |＋| ｃ |

ここで、　| ｂ |＝| (2/3)Ｆ(１)＋(2/3)Ｆ(−１)−(2/3)Ｆ(1/2)−(2/3)Ｆ(−1/2) |

　　　　　　　　 ≦ (2/3)Ｍ＋(2/3)Ｍ＋(2/3)Ｍ＋(2/3)Ｍ＝(8/3)Ｍ

　　　　　　| ｃ |＝| −(1/6)Ｆ(１)＋(1/6)Ｆ(−１)＋(4/3)Ｆ(1/2)−(4/3)Ｆ(−1/2) |

　　　　　　　　 ≦ (1/6)Ｍ＋(1/6)Ｍ＋(4/3)Ｍ＋(4/3)Ｍ＝３Ｍ
なので、
　　　　| Ｆ’(−b/(3ａ)) |≦(8/3)Ｍ＋３Ｍ＝(17/3)Ｍ≦９Ｍ

　以上から、| b/(3ａ) |≦１　のとき、Ｍ’≦９Ｍ　すなわち、　Ｍ’≦３²Ｍ　が成り立つ。

したがって、ｎ＝３　のとき、　Ｍ’≦３²Ｍ　　が成り立つ。

（コメント）　フーセイさんの解答は、すばらしいですね！軸の方程式が関係すると思って、
　　　　　　Ｆ’(Ｘ) ＝ ３ａ(Ｘ−ｍ)²＋ｂ　(ａ≠０)　としてしまったのが敗因でした。（軸を簡単
　　　　　に扱えると思いきや、式をいたずらに複雑にしてしまったようです！）

　　　　　　また、文字が４つなので、式も４本必要。それで、−１、０、1/2、１ について、計
　　　　　算したこともありましたが、思うような結果が出ず、諦めてしまいました。上の連立
　　　　　方程式の形をみると、−１、−1/2、1/2、１　について考えるということが、ごく自然
　　　　　に見えます。

　　　　　　この証明で、一番の難所は、| Ｆ’(−b/(3ａ)) |　の評価ですね。文字 ａ が分母に
　　　　　入っているので、少し考えさせられます。−ｂ²/(3ａ)＝−(b/(3ａ))・ｂ　という式変形
　　　　　に気がつくことがポイントのようです。

　　　　　　１９９５年度入試の京都大学後期理系数学の問題３で、このようなアイデアを用
　　　　　いる問題が出題されています。

　　　　　　　ａ、ｂ、ｃ　は実数で、ａ≧０、ｂ≧０　とする。
　　　　　　ｐ(Ｘ)＝ａＸ²＋ｂＸ＋ｃ 、ｑ(Ｘ)＝ｃＸ²＋ｂＸ＋ａ　とおく。−１≦Ｘ≦１　を満たすすべ
　　　　　　ての Ｘ に対して、| ｐ(Ｘ) |≦１　が成り立つとき、−１≦Ｘ≦１　を満たすすべての
　　　　　　 Ｘ に対して、| ｑ(Ｘ) |≦２　が成り立つことを示せ。

　　　　　　（解）　ｃ＝０　のとき、

　　　　　　　　　　　　| ｑ(Ｘ) |＝| ｂＸ＋ａ |≦ ｂ・| Ｘ |＋ａ≦ａ＋ｂ＝ａ＋ｂ＋ｃ＝ｐ(１)≦１≦２

　　　　　　　ｃ≠０　とする。　ここで、ｑ(Ｘ)＝ｃＸ²＋ｂＸ＋ａ＝ｃ(Ｘ＋ｂ/(2ｃ))²−ｂ²/(4ｃ)＋ａ

　　　　　　　| −ｂ/(2ｃ) |≦１　のとき、

　　　　　　　　　　| ｑ(Ｘ) |≦ｍａｘ(| ｑ(１) |，| ｑ(−１) |，| ｑ(−ｂ/(2ｃ)) |)　である。

　　　　　　　　　　　　| ｑ(１) |＝| ａ＋ｂ＋ｃ |＝| ｐ(１) |≦１

　　　　　　　　　　　　| ｑ(−１) |＝| ａ−ｂ＋ｃ |＝| ｐ(−１) |≦１

　　　　　　　　　　　　| ｑ(−ｂ/(2ｃ)) |＝| −ｂ²/(4ｃ)＋ａ |

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≦| −ｂ/(2ｃ) |・(b/2)＋ａ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≦ａ＋(b/2)≦ａ＋ｂ＝ｐ(１)−ｐ(０)≦１＋１＝２

　　　　　　　　　　以上から、　　| ｑ(Ｘ) |≦２

　　　　　　　| −ｂ/(2ｃ) |＞１　のとき、

　　　　　　　　　　| ｑ(Ｘ) |≦ｍａｘ(| ｑ(１) |，| ｑ(−１) |)　である。

　　　　　　　　　　| −ｂ/(2ｃ) |≦１　のときと同様にして、| ｑ(１) |≦１、| ｑ(−１) |≦１

　　　　　　　　　　以上から、　　| ｑ(Ｘ) |≦１≦２

　　　　従って、−１≦Ｘ≦１　を満たすすべての Ｘ に対して、| ｑ(Ｘ) |≦２　が成り立つ。（終）

　ｎ＝３　の場合が解決したと思ったら、今度は、ｎ＝４ の場合、あるいは一般の場合につ
いてはどうかという疑問がわいてきます。　ｎ＝１，２，３　の場合の証明から分かるように、
証明の本質的なところが、かなり図形の性質に依存しています。したがって、上記のような
計算で一般の場合が証明できるとは考えにくいです。もっと起死回生的な解法はないもの
でしょうか？まだまだ悩みの種は尽きないようです。


（追々々記）　不等式で遊ぼうと思って取り組んだ問題であったが、随分と不等式に遊ば
　　　　　　　　れてしまった。平成１５年１１月１４日に、ｎ＝３の場合の解決（フーセイさんに
　　　　　　　　感謝）をみて以来、ずっと「ほったらかし」であった。（ほぼ半年間！！）

　　　　　　　　　その原因は明らかである。ｎ＝１，２，３　の場合が何れも直線や放物線とい
　　　　　　　　った図形の性質に依存した解答だからである。ｎ＝４　の場合は、それまでと
　　　　　　　　比べてはるかに難しく、新たな視点で解決しなければならないことは必定であ
　　　　　　　　る。

　　　　　　　　　平成１６年５月１５日に、この問題の出典の著者　安田　亨　先生（駿台予備
　　　　　　　　学校）からメールを頂戴した。敬愛する安田先生から直にメールを頂いて、恐
　　　　　　　　縮したが、このマルコフの定理について、いろいろお話を伺うことができた。

　　　　　　　　　結論からいえば、この定理の証明は、常人では甚だ困難だろうということで
　　　　　　　　ある。既に証明されている事実であるが、その手法は、３次関数の場合に限
　　　　　　　　定しても、我々が上記で知りえた証明とは全く異なる視点で解かれている。

　　　　　　　　　整関数の話なのに無理関数まで登場するくらいで安田先生も驚かれていた。

　　　　　　　　　安田先生から、３次関数の場合の解答を頂戴したので、この解答を４次関数
　　　　　　　　に拡張したものをこれから考えていくつもりである。

　　　　　　　　　直ぐにはできない（今ちょっと殺人的ハードスケジュールの中に身を投じてい
　　　　　　　　るので！）と思うが、時間を工面して是非安田先生に結果をお返ししたいと決
　　　　　　　　意する次第である。

　　　　　　　　　なお、このマルコフの定理について、広島工業大学の大川研究室から、次
　　　　　　　　のことをお教えいただいた。（平成１６年５月２１日付け）

　　　　　　　　　この問題は、ポリア、セゲーの著書　：

　　　　G.Polya-G.Szegoe, Problems and Theorems in analysis II, Springer-Verlag

　　　　　　　　の中の練習問題にあり、解答を見ると、それまでの問題・解答の結果として与
　　　　　　　　えられた第一種・第二種チェビシェフ多項式、三角多項式(有限三角級数)に関
　　　　　　　　する幾つかの事実を使って示されているそうである。

　　　　　　　　　なお、この結果は、 Ａ．Ｍａｒｋｏｖ(1889) に依ると記されているとのことである。

　４次関数について調べる前に、安田先生から頂戴した３次関数の場合の証明方法を理解
するために、まず、２次関数の場合を、冒頭の証明とは異なる手法で確かめてみることにす
る。

　最初に、次のことを注意しておきたい。

　 ｎ次の多項式 Ｆ(Ｘ) （−１≦Ｘ≦１） において、その絶対値 | Ｆ(Ｘ) | の最大値を Ｍ、Ｆ(Ｘ)
の導関数 Ｆ’(Ｘ) の絶対値 | Ｆ’(Ｘ) | の最大値を Ｍ’ とするとき、　Ｍ’≦ｎ²Ｍ　を示すわ
けであるが、両辺を Ｆ(Ｘ) の最高次の係数の絶対値で割っても不等式は不変であるので、
最初から、最高次の係数は、１ であるとしても一般性は失われない。

　そこで、２次の多項式 Ｆ(Ｘ) ＝Ｘ²＋ａＸ＋ｂ （−１≦Ｘ≦１）について考えることにする。

　絶対値 | Ｆ(Ｘ) | の最大値を Ｍ とする。

　いま、　Ｘ＝ｃｏｓθ　とおき、Ｇ(θ)＝Ｆ(ｃｏｓθ)　とおく。

このとき、　０≦θ≦２π　における絶対値 | Ｇ(θ) | の最大値を、Ｍａｘ| Ｇ(θ) |　などと書く

ことにすると、　　Ｍａｘ| Ｇ’(θ) | ≦ ２・Ｍａｘ| Ｇ(θ) |　＝２Ｍ　が成り立つ。

ところで、　Ｇ’(θ)＝Ｆ’(ｃｏｓθ)・(−ｓｉｎθ)　であるので、

　　　　　　　　Ｍａｘ| Ｆ’(ｃｏｓθ)・(−ｓｉｎθ) | ≦ ２Ｍ
すなわち、
　　　　　　　　Ｍａｘ| Ｆ’(Ｘ)・ | ≦ ２Ｍ
である。

さらにまた、　　Ｍａｘ| Ｆ’(Ｘ) | ≦ ２・Ｍａｘ| Ｆ’(Ｘ)・ | 　が成り立つ。

よって、　　Ｍａｘ| Ｆ’(Ｘ) | ≦ ２・２Ｍ＝４Ｍ　となり、題意は証明された。

（コメント）　上記が２次の多項式の場合の証明の概略である。　三角関数あり、無理関数
　　　　　　ありで、その発想の斬新さに驚かされる。（太字の部分は、証明が必要である。）

　　上記の証明方法を検討すると、ｎ次の多項式の場合を証明するには、次の２つの事実
　を示せばよいだろうと予想される。

　　　　　　　Ｍａｘ| Ｇ’(θ) | ≦ ｎ・Ｍ　　　　　（ベルンシュタインの不等式）

　　　　　　　Ｍａｘ| Ｆ’(Ｘ) | ≦ ｎ・Ｍａｘ| Ｆ’(Ｘ)・ |

　　この２つの不等式を組み合わせれば、所要の不等式 ：　Ｍ’≦ｎ²Ｍ　が示される。

従って、次の課題は、これらの不等式の証明である。


　証明にあたって本質的に活躍するのは、 ｎ 倍角の余弦 ｃｏｓｎθ である。

この関数を、加法定理を用いて展開した式において、ｃｏｓθ＝Ｘ　として得られる多項式を

チェビシェフの多項式という。

　２次の多項式の場合の証明には、ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ²θ−１　から、２次式　Ｔ₂（Ｘ）＝２Ｘ²−１

が用いられる。　０≦θ≦π　において、ｃｏｓ２θ＝０　の解は、π/４、３π/４　なので、

　　　Ｘ₁＝ｃｏｓθ₁　　（ただし、θ₁＝π/４）　、　Ｘ₂＝ｃｏｓθ₂　　（ただし、θ₂＝３π/４）

とおくと、これらは、方程式　Ｔ₂（Ｘ）＝０　の異なる２つの解　Ｘ₁　、Ｘ₂　を与える。

　まず、
　　　　　　　Ｍａｘ| Ｆ’(Ｘ) | ≦ ２・Ｍａｘ| Ｆ’(Ｘ)・ |

を、示したい。

　今、 Ｆ(Ｘ) ＝Ｘ²＋ａＸ＋ｂ なので、 Ｆ’(Ｘ) ＝２Ｘ＋ａ　である。

Ｌａｇｒａｎｇｅ の補間多項式によれば、Ｆ’(Ｘ) と、Ｘ＝Ｘ₁　、Ｘ＝Ｘ₂　で一致するような１次の多

項式 Ｌ（Ｘ）は、明らかに次の式で与えられる。

　 　　Ｌ（Ｘ）＝（（Ｘ−Ｘ₂）/（Ｘ₁−Ｘ₂））Ｆ’(Ｘ₁)＋（（Ｘ−Ｘ₁）/（Ｘ₂−Ｘ₁））Ｆ’(Ｘ₂)

Ｆ’(Ｘ)　は、１次式なので、この場合、Ｆ’(Ｘ)＝Ｌ（Ｘ）　である。すなわち、

　　　Ｆ’(Ｘ)＝（（Ｘ−Ｘ₂）/（Ｘ₁−Ｘ₂））Ｆ’(Ｘ₁)＋（（Ｘ−Ｘ₁）/（Ｘ₂−Ｘ₁））Ｆ’(Ｘ₂)

　ところで、チェビシェフの多項式 Ｔ₂（Ｘ）＝２(Ｘ−Ｘ₁)(Ｘ−Ｘ₂)　を用いて、上式は、

　　２Ｆ’(Ｘ)＝Ｔ₂（Ｘ）Ｆ’(Ｘ₁)/（（Ｘ−Ｘ₁）（Ｘ₁−Ｘ₂））−Ｔ₂（Ｘ）Ｆ’(Ｘ₂)/（（Ｘ−Ｘ₂）（Ｘ₁−Ｘ₂））

と形式的に変形される。（ここで、形式的としたのは、実際に、たとえば、Ｘ＝Ｘ₁　における値

を計算する場合は、各項で零因子を約分してから求めることになるからである。）

　さらに、θ₁＋θ₂＝π　であることに注意すれば、

　Ｘ₁−Ｘ₂＝ｃｏｓθ₁−ｃｏｓθ₂＝２ｃｏｓθ₁　であるが、

　２ｃｏｓθ₁ｓｉｎθ₁＝ｓｉｎ２θ₁＝１　であるので、

　　　　　　　１/（Ｘ₁−Ｘ₂）＝１/（２ｃｏｓθ₁）＝ｓｉｎθ₁＝

　同様にして、Ｘ₁−Ｘ₂＝ｃｏｓθ₁−ｃｏｓθ₂＝−２ｃｏｓθ₂　であるが、

　２ｃｏｓθ₂ｓｉｎθ₂＝ｓｉｎ２θ₂＝−１　であるので、

　　　　　　　１/（Ｘ₁−Ｘ₂）＝−１/（２ｃｏｓθ₂）＝ｓｉｎθ₂＝

となる。よって、

　　　２Ｆ’(Ｘ)＝Ｔ₂（Ｘ）Ｆ’(Ｘ₁)/（Ｘ−Ｘ₁）−Ｔ₂（Ｘ）Ｆ’(Ｘ₂)/（Ｘ−Ｘ₂）

と書くことができる。

　さて今、　Ｍ＝２・ｍａｘ| Ｆ’(Ｘ) |　＝ ｍａｘ| ２・Ｆ’(Ｘ) |　とおく。

　このとき、−１≦Ｘ≦１　において、　| Ｆ’(Ｘ) | ≦ Ｍ　であることを示せばよい。

　Ｘ₂≦Ｘ≦Ｘ₁　のとき、≧（＝ ）＝/２＞１/２　なので、

　　　　　　　　| Ｆ’(Ｘ) | ≦| ２・Ｆ’(Ｘ) | ≦Ｍ

は、明らかに成り立つ。

−１≦Ｘ≦Ｘ₂　または　Ｘ₁≦Ｘ≦１　のとき、

　| ４・Ｆ’(Ｘ) | ＝２・| Ｔ₂（Ｘ）Ｆ’(Ｘ₁)/（Ｘ−Ｘ₁）−Ｔ₂（Ｘ）Ｆ’(Ｘ₂)/（Ｘ−Ｘ₂） |

　　　　　　　　≦Ｍ（ | Ｔ₂（Ｘ）/（Ｘ−Ｘ₁） | ＋ | Ｔ₂（Ｘ）/（Ｘ−Ｘ₂） | ）

　　　　　　　　＝Ｍ（ ２・| Ｘ−Ｘ₂ | ＋２・ | Ｘ−Ｘ₁ | ）

　　　　　　　　＝Ｍ（| ２（Ｘ−Ｘ₂）＋２（ Ｘ−Ｘ₁） | ）　　（←　Ｘ−Ｘ₁　、Ｘ−Ｘ₂　は同符号！）

　　　　　　　　＝Ｍ・| Ｔ₂’（Ｘ） |

　　　　　　　　≦４Ｍ　　　（←　Ｔ₂’（Ｘ）＝４Ｘ　（−１≦Ｘ≦１ ）より、| Ｔ₂’（Ｘ） |≦４　 ）

　したがって、
　　　　　　　　　　　| Ｆ’(Ｘ) | ≦ Ｍ　

であることが示された。以上から、不等式

　　　　　　　Ｍａｘ| Ｆ’(Ｘ) | ≦ ２・Ｍａｘ| Ｆ’(Ｘ)・ |

の成り立つことが分かる。

　　（注意）　上記の証明で、『　Ｔ₂’（Ｘ）＝４Ｘ　（−１≦Ｘ≦１ ）より、| Ｔ₂’（Ｘ） |≦４　』の部
　　　　　　　分は、関数 Ｔ₂’（Ｘ）　のグラフが直線という幾何学的性質を用いたが、このこ
　　　　　　　とは一般化の障害になる部分である。

　　　　　　　　次のように証明すれば、回避される。

　　　　　　　　　　Ｔ₂（Ｘ）＝２Ｘ²−１　において、Ｘ＝ｃｏｓθ　とおくと、

　　　　　　　　　　Ｔ₂（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓ²θ−１＝ｃｏｓ２θ

　　　　　　　　　　両辺を、θ で微分すると、　　Ｔ₂’（ｃｏｓθ)(−ｓｉｎθ)＝−２ｓｉｎ２θ

　　　　　　　　　　よって、　Ｔ₂’（ｃｏｓθ)・ｓｉｎθ＝２ｓｉｎ２θ　より、

　　　　　　　　　　　　　　　　Ｔ₂’（ｃｏｓθ)＝２ｓｉｎ２θ/ｓｉｎθ

　　　　　　　　　　　　　（　ｓｉｎθ＝０　のときのＴ₂’（ｃｏｓθ)の値は、ｓｉｎθ→ ０　のときの右
　　　　　　　　　　　　　　辺の極限値として定義する。）

　　　　　　　　　　　ここで、一般に、| ｓｉｎ ｎθ |≦ｎ・| ｓｉｎθ |　（ｎ は自然数）が成り立つ。

　　　　　　　　　　実際に、ｎ＝１　のときは明らか。

　　　　　　　　　　　　　　　ｎ＝ｋ （ｋ≧１）のとき成り立つと仮定する。すなわち、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　| ｓｉｎ ｋθ |≦ｋ・| ｓｉｎθ |

　　　　　　　　　　　　　　　ｎ＝ｋ＋１　のとき、　

　　　　　　　　　　　　　　　　| ｓｉｎ （ｋ＋１）θ |＝| ｓｉｎ ｋθｃｏｓθ＋ｃｏｓ ｋθｓｉｎθ |

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≦| ｓｉｎ ｋθ||ｃｏｓθ|＋|ｃｏｓ ｋθ||ｓｉｎθ |

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≦ｋ・| ｓｉｎθ |＋|ｓｉｎθ |＝（ｋ＋１）・| ｓｉｎθ |

　　　　　　　　　　　　　　　以上から、全ての自然数 ｎ に対して、　| ｓｉｎ ｎθ |≦ｎ・| ｓｉｎθ |

　　　　　　　　　したがって、　| Ｔ₂’（ｃｏｓθ) |≦４　即ち、| Ｔ₂’（Ｘ） |≦４　が成り立つ。

次に、
　　　　　　　Ｍａｘ| Ｇ’(θ) | ≦ ２・Ｍ

であることを示す。

　今、　Ｂ（α，θ）＝（1/2）（Ｇ（α＋θ）−Ｇ（α−θ））　とおく。

　| Ｇ(θ) | の最大値が、Ｍ であることに注意して、

　　　　　| Ｂ（α，θ） |＝（1/2）| Ｇ（α＋θ） − Ｇ（α−θ） |

　　　　　　　　　　　　　 ≦（1/2）（ | Ｇ（α＋θ） | ＋ | Ｇ（α−θ） | ）≦Ｍ

　ここで、Ｂ（α，−θ）＝−Ｂ（α，θ）より、Ｂ（α，θ）はθについて２次の奇関数である。

よって、　α を固定して、Ｂ（α，θ）＝ｐ・ｓｉｎθ＋ｑ・ｓｉｎ２θ　とおける。

このとき、　Ｂ（α，θ）/ｓｉｎθ　は、ｃｏｓθ＝Ｘ　の１次式なので、

　Ｍａｘ| Ｆ’(Ｘ) | ≦ ２・Ｍａｘ| Ｆ’(Ｘ)・ |　のときと同様にして、

　　　Ｍａｘ| Ｂ（α，θ）/ｓｉｎθ | ≦ ２・Ｍａｘ| （Ｂ（α，θ）/ｓｉｎθ）・ |

の成り立つことがいえる。

　よって、　　　　Ｍａｘ| Ｂ（α，θ）/ｓｉｎθ | ≦２・Ｍａｘ| Ｂ（α，θ） |≦２Ｍ　より、

　　　　　　　　　 　　　　| Ｂ（α，θ）/ｓｉｎθ | ≦ ２Ｍ

ここで、θ を限りなく ０ に近づけるとき、ロピタルの定理を用いて、

　　　　　　　　　　　　　| Ｇ’（α） | ≦ ２Ｍ

αは任意なので、　　| Ｇ’（θ） | ≦ ２Ｍ　が成り立つ。

以上から、不等式

　　　　　　　Ｍａｘ| Ｇ’(θ) | ≦ ２・Ｍ

の成り立つことが分かる。

　これで、２次関数の場合の証明は完了した。

次は、これを足がかりにして一般化を視野に入れつつ、４次関数の場合に挑戦してみよう。

　広島工業大学の大川研究室のＨＰによれば、「この問題は解決！そのうちアップロードし
ます。」とのことである。（平成１６年５月２２日現在）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．　大川先生、どのような解答か楽しみです！


（追記）　平成２５年７月２１日付け

　このページも約９年ぶりの更新です。今日は参議院議員選挙の日。結果が気になります。

　このページで紹介した定理（Ｍａｒｋｏｖ）は、これまでもいくつかの大学入試で題材にされ
てきた。

学習院大学（１９８１年）

　実数ａ、ｂ、ｃに対して、−１≦ｘ≦１において、−１≦ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ≦１が成り立つならば、

−１≦ｘ≦１において、−４≦２ａ＋ｂ≦４が成り立つことを証明せよ。

（解）　２次の多項式 Ｆ(ｘ) ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ （−１≦ｘ≦１）について、

　　　| Ｆ(１) |＝| ａ＋ｂ＋ｃ |≦１、| Ｆ(０) |＝| ｃ |≦１、| Ｆ(−１) |＝| ａ−ｂ＋ｃ |≦１

　また、ａ＋ｂ＋ｃ ＝ Ｆ(１) 、ａ−ｂ＋ｃ ＝ Ｆ(−１) 、ｃ ＝ Ｆ(０) から、

　　　　　ａ ＝（ Ｆ(１)＋Ｆ(−１)）/２−Ｆ(０) 、ｂ ＝（ Ｆ(１)−Ｆ(−１)）/２

　ここで、| Ｆ’(１) | ＝ | ２ａ＋ｂ | ＝ | Ｆ(１)＋Ｆ(−１)−２Ｆ(０)＋（ Ｆ(１)−Ｆ(−１)）/２ |
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　＝ | (3/2) Ｆ(１)＋(1/2) Ｆ(−１)−２Ｆ(０) |
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　≦ (3/2)| Ｆ(１) |＋(1/2) | Ｆ(−１) |＋２| Ｆ(０) |≦４

　よって、　| ２ａ＋ｂ | ≦４　より、　−４≦２ａ＋ｂ≦４　が成り立つ。　　（終）


東京工業大学（１９８８年）

　関数 Ｆ(ｘ) ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ は、| ｘ |≦１で| Ｆ(ｘ) |≦１を満たしている。このとき、Ｆ(ｘ) の導
関数 Ｆ’(ｘ) について、

（１）　| Ｆ’(１) |≦４ を示せ。

（２）　| Ｆ’(１) |＝４ となる Ｆ(ｘ) を全て求めよ。

　（１）については、学習院大学と同じ問題で同様に解けるが、ここでは別な解法で示してお
こう。

（解）（１）　題意より、　−１≦ａ＋ｂ＋ｃ≦１、−１≦ａ−ｂ＋ｃ ≦１、−１≦ｃ≦１

　−１≦ｃ≦１から、−１≦−ｃ≦１でもあるので、第１式、第２式に辺々加えて、

　　　　−２≦ａ＋ｂ≦２、−２≦ａ−ｂ ≦２

　このとき、点（ａ，ｂ）は、（２，０）、（０，２）、（−２，０）、（０，−２）を頂点とする正方形の周
および内部に存在する。

　そこで、　Ｆ’(１) ＝ ２ａ＋ｂ ＝ ｋ　が上記の領域と交わるような ｋ の値の範囲を求めれば
よい。

　ｋ は、（ａ，ｂ）＝（２，０）のとき最大で、最大値　４

　ｋ は、（ａ，ｂ）＝（−２，０）のとき最小で、最小値　−４

　よって、　−４≦Ｆ’(１) ≦４　より、　| Ｆ’(１) | ≦４　が成り立つ。

（２）　| Ｆ’(１) | ＝４　となるのは（１）より、　（ａ，ｂ）＝（２，０）、（−２，０）

　　（ａ，ｂ）＝（２，０）のとき、　ｃ＝−１　で、　Ｆ(ｘ) ＝２ｘ²−１

　　（ａ，ｂ）＝（−２，０）のとき、　ｃ＝１　で、　Ｆ(ｘ) ＝−２ｘ²＋１


（コメント）　（１）の解法から分かるように、（２，０）、（０，２）、（−２，０）、（０，−２）を頂点と
　　　　　　する正方形の周および内部の点が全て条件を満たす訳ではないことに注意しな
　　　　　　ければならない。

　　　　　　　例えば、Ｆ(ｘ) ＝ｘ²＋ｘ＋ｃ＝（ｘ＋１/２）²＋ｃ−１/４　について、

　　　　　　　　　　ｃ−１/４≦Ｆ(ｘ)≦２＋ｃ

　　　　　　区間［ｃ−１/４，２＋ｃ］の幅が９/４（＞２）なので、ｃがいかなる値をとっても、

　　　　　　−１≦ｘ≦１　において、−１≦Ｆ(ｘ)≦１　となることはない。


　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「空舟」さんからのコメントです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２５年７月２３日付け）

　冒頭で、M’≦n²M という定理が紹介されていますが、この等号が成り立つ状況を理解す
ることはできました。

　F(ｘ) を、F(cosθ) ＝ cos(nθ)　となるように定めると、M=1 であり、ｘ＝±1 において
|F’(ｘ)| ＝ n² の等号が成立するようです。

　実際に、　dF/dｘ ＝ {d(cos(nθ))/dθ}/{d(cosθ)/dθ} ＝ n・|sin(nθ)| / |sinθ|　より、
　　　　　　　lim_ｘ→±1 F'(ｘ) ＝ lim_θ→0 n・|sin(nθ)| / |sinθ| ＝ n²


　５倍角の公式と見比べて、F(ｘ)＝16ｘ⁵-20ｘ³+5ｘ としてグラフを書いてみると、

ｍａｘ { |ｘ|，|ｙ| } ≦1 という正方形に、ぴったり収まる様子を見ることができます。（このときが
限界だなあと感じさせます。）その時、ｘ＝±1 で、|F’(ｘ)|が最大値２５をとるわけですね・・。


　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「Ｓ（Ｈ）」さんからの情報です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２５年７月２４日付け）