有限図形の代数的表現 
当ＨＰの読者のＫ．Ｓ．さんより、平成２４年１０月８日付けで標記話題をメールで頂いた。
三角形や星型の図形を式で表現したいという思いから、以下のことを考察しました。有限
個の点と辺で構成される図形を、整関数で表現する。そのため、基礎体として素数の有限
体を考える。但し、とりあえず扱うのは、点の数と辺の数が等しい特別な場合である。
先ず、P＝５ のときから、始めることにします。
１．グラフと写像と関数について（特別な場合）
集合 Ｆ＝｛０，１，２，３，４｝について、写像 ｆ ： Ｆ → Ｆ を考える。このような写像は、５5 個
あります。
ｆ（０）＝ａ、ｆ（１）＝ｂ、ｆ（２）＝ｃ、ｆ（３）＝ｄ、ｆ（４）＝ｅ
となる写像を、（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ）ｍ で表
す。
「次に、円周上に、５個の点を等間隔にとり、上（１２時）から左回りに、０、１、２、３、４ と点
に名前をつけます。」
注意： この「」は、便宜上のことであり、これからの議論に、適用されない。
例えば、（１，２，３，４，１）ｍ の表すグラフとは、有向グラフで
を表す。更に、ここで有限体Ｆ5上の関数を考えます。
ｆ（ｘ）＝４ｘ4＋ｘ3＋４ｘ2＋２ｘ＋１ （ここで、 ｘ≠０ → ｘ4＝１ ）
ｆ（０）＝１、ｆ（１）＝２、ｆ（２）＝３、ｆ（３）＝４、ｆ（４）＝１
となるので、ｆ（ｘ）は上のグラフを表す
関数であることがわかります。
他に、五角形は、ｘ＋１ で、星形は、ｘ＋２ で表すことができます。
ｆ（ｘ）＝Ａ＋Ｂｘ＋Ｃｘ2＋Ｄｘ3＋Ｅｘ4 のとき、その係数をとって（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ）ｐ と表す。
F上の写像を、全て、Ｆ5（ｘ）の４次以下の関数で表すことができる。写像と関数が
1対１に対応する。
（証明） ｆ（ｘ）＝４ｘ4＋１ について、
ｆ（０）＝１、ｆ（１）＝０、ｆ（２）＝０、ｆ（３）＝０、ｆ（４）＝０
となるので、ｆ（ｘ）は、写像（１，０，０，０，０）ｍ を表す。
よって、写像（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ）ｍ を表す関数は、
ａ（４ｘ4＋１）＋ｂ｛４（ｘ−１）4＋１｝＋ｃ｛４（ｘ−２）4＋１｝
＋ｄ｛４（ｘ−３）4＋１｝＋ｅ｛４（ｘ−４）4＋１｝
＝（４ａ＋４ｂ＋４ｃ＋４ｄ＋４ｅ）ｘ4＋（４ｂ＋３ｃ＋２ｄ＋ｅ）ｘ3
＋（４ｂ＋ｃ＋ｄ＋４ｅ）ｘ2＋（４ｂ＋２ｃ＋３ｄ＋ｅ）ｘ＋ａ
つまり、
また逆に、４次以下の関数は、F上の写像を表す。
Ｋ．Ｓ．さんより続報です。（平成２４年１０月２４日付け）
Ｆ上の写像から、Ｆ上の整関数への変換する行列をＸ、逆にＦ上の整関数からＦ上の写像
へ変換する行列をＹとすると、おもしろい特徴があります。
、 
このとき、 ＸＹ＝Ｅ 、Ｘ＝２ 、Ｙ＝３ が成り立つ。（Ｘ、Ｙをそれぞれ変換行列とよぶ）
「また、Ｘの各行は、関数 ４ｘ4＋１、４ｘ3、４ｘ2、４ｘ、４ の値になっている。
Ｙの各列は、関数 １、ｘ、ｘ2、ｘ3、ｘ4 の値になっている。」
一般のP（素数）の有限体上でも、X、Yについて同様のことが成り立つことが証明できます。
２．回転合同について
回転によって、重なるグラフを、回転合同（単に合同）と呼ぶことにする。つまり、似たよう
な形について、整式で特徴づけることができます。
それぞれの関数は、
４ｘ4＋０ｘ3＋０ｘ2＋ｘ＋２ 、 ４ｘ4＋ｘ3＋４ｘ2＋２＋１ 、 ４ｘ4＋２ｘ3＋ｘ2＋４ｘ＋１ 、
４ｘ4＋３ｘ3＋ｘ2＋３ｘ＋１ 、 ４ｘ4＋４ｘ3＋４ｘ2＋０ｘ＋１
となり、最高次の係数が一致している。さらに、
４（ｘ＋α）4＋（ｘ＋α）＋２＋４α （α＝０、１、２、３、４）
と一つの式にまとめることができる。
一般に、
「回転合同であれば、標準形（次数−１次の項がない形）にまとめることができる。」
標準形
４次関数のとき、 Ａ（ｘ＋α）4＋Ｂ（ｘ＋α）2＋Ｃ（ｘ＋α）＋Ｄ＋４α
３次関数のとき、 Ａ（ｘ＋α）3＋Ｂ（ｘ＋α）＋Ｃ＋４α
２次関数のとき、 Ａ（ｘ＋α）2＋Ｂ＋４α
１次関数のとき、 Ａ（ｘ＋α）＋４α
「回転合同の５つの関数は、同じ次数であり、最高次の係数が同じであり、標準形によっ
て、一つにまとめることができる。そして、標準形で表した、５つの式は、回転合同である。」
Ｋ．Ｓ．さんより続報です。（平成２４年１１月１５日付け）
３．反転合同について
反転によって、重なるグラフを反転合同と呼ぶことにする。つまり
|
→ |
 |
０軸対称のとき、１を４、２を３、３を２、４を１、０を０ すなわち、
（１，２，３，４，１）ｍ → （４，４，１，２，３）ｍ
式で表すと、 （１，２，４，１，４）ｐ → （４，２，１，１，１）ｐ
この変換を行列で表すと、対角成分が（４，１，４，１，４）で他の成分が０となる。反転した
式を求めるためには、この行列を掛ければよい。
４．サイクル合同
二つの図形が、サイクルを持ち、その向きだけが、逆順になっているとき、サイクル合同
という。
三角形のサイクルは２種、四角形のサイクルは３種がある。
サイクルを持つ図形は、式を一つにまとめて表すことができる。パラメータαでまとめると、
ａ｛４（ｘ＋α）4＋１｝＋（ｘ＋α＋３）3＋４α+3
同様にして、サイクルが右回り＝負の回転の場合は、
ａ｛４（ｘ＋α）4＋１｝＋（ｘ＋α＋２）3＋４α+２
ａ、αが等しければ、サイクル合同となる。他の場合、サイクルの右回りと左回りは、
ａ｛４（ｘ＋α）4＋１｝＋４（ｘ＋α＋１）3＋４α+１
ａ｛４（ｘ＋α）4＋１｝＋４（ｘ＋α＋４）3＋４α+４
ａ｛４（ｘ＋α）4＋１｝＋２（ｘ＋α＋３）3＋４α+４
ａ｛４（ｘ＋α）4＋１｝＋２（ｘ＋α＋２）3＋４α+１
ａ（ｘ＋α）（ｘ＋α＋１）（ｘ＋α＋４）（ｘ＋２α）＋（ｘ＋α＋１）2＋４α
ａ（ｘ＋α）（ｘ＋α＋１）（ｘ＋α＋４）（ｘ＋２α）＋４（ｘ＋α＋４）2＋４α
ａ（３ｘ＋α）（３ｘ＋α＋１）（３ｘ＋α＋４）（３ｘ＋２α）＋２（３ｘ＋α＋１）2＋３α
ａ（３ｘ＋α）（３ｘ＋α＋１）（３ｘ＋α＋４）（３ｘ＋２α）＋３（３ｘ＋α＋４）2＋３α
Ｋ．Ｓ．さんより続報です。（平成２５年１月６日付け）
５．位相合同
写像の中で、特に、全単射のものを、置換と呼ぶ。全単射の関数（５！＝１２０個）が対応
する。置換（番号の付け替え）によって位相的に、同型なグラフに移る。
σとτ-1στは位相的に同型である （σ、τは置換）
何故なら、互換（１０通り）のとき位相同型が成り立つことがわかるので、一般のときも互
換の積で表されるので、成り立つことが分かる。
回転合同、反転合同、サイクル合同も、それぞれ対応する置換が存在するので、位相合
同（＝位相同型）であることが分かる。
（具体例）
σ＝（１，２，３，４，１）ｍ σ’＝（４，３，１，４，２）ｍ
ここで、 τ＝（１４）（１３）＝（０，３，２，４，１）ｍ とすると、
τ-1（１，２，３，４，１）ｍτ＝（０，４，２，１，３）ｍ・（１，２，３，４，１）ｍ・（０，３，２，４，１）ｍ
＝（４，３，１，４，２）ｍ
Ｋ．Ｓ．さんより続報です。（平成２５年１月２５日付け）
６．逆合同（矢印の向きが逆で、形が同じ）
これまでの写像は、一価の関数で表される。ｘとｙを交換すると、逆関数を得る。一般に多
価の関数（陰関数）となる。
ｘ＋ａｙ4＋ｂｙ3＋ｃｙ2＋ｄｙ＋ｅ＝０ （５5＝３１２５個）
具体例 （１，２，３，４，１）ｍ →（逆関数） （ｘ，０，１，２，３）ｍ または （ｘ，４，１，２，３）ｍ
| |
|
 |
ｙ＋ｘ4＋４ｘ3＋ｘ2＋３ｘ＋４＝０ ｘ＋ｙ4＋４ｙ3＋ｙ2＋３ｙ＋４＝０
逆写像どうしの積は、恒等写像ですが
（１，２，３，４，１）ｍ（ｘ，０，１，２，３）ｍ＝（ｘ，１，２，３，４）ｍ≡（０，１，２，３，４）ｍ
（１，２，３，４，１）ｍ（ｘ，４，１，２，３）ｍ＝（ｘ，１，２，３，４）ｍ≡（０，１，２，３，４）ｍ
また、
（ｘ，０，１，２，３）ｍ（１，２，３，４，１）ｍ＝（０，１，２，３，０）ｍ≡（０，１，２，３，４）ｍ
（ｘ，４，１，２，３）ｍ（１，２，３，４，１）ｍ＝（４，１，２，３，４）ｍ≡（０，１，２，３，４）ｍ
多重関数の場合、積の結果が多少異なるので、よりゆるい意味で同一視する必要がある。
グラフ的（写像的にも）には、
二重のループの点と、不定の点があるとき、ループを不定の点に移すことができる。そう
すれば、上の写像を同一視できる。
更に、多価の点があるとき、ループを持つどうしで互換があるとき、それを省くことができ
る。そうすれば、上の写像を同一視できる。
Ｋ．Ｓ．さんより続報です。（平成２５年３月３日付け）
７．多価関数（多重グラフ）
逆関数を導入することによって、必然的に多価関数を導入することになった。これまで、一
価関数はグラフと一対一に対応がなされたが、多価関数では、複数の関数が、同じ一つの
グラフに対応することがある。一般には、関数は
ａ4(ｘ)ｙ4＋ａ3(ｘ)ｙ3＋ａ2(ｘ)ｙ2＋ａ1(ｘ)ｙ＋ａ0(ｘ)＝０ ａｉ(ｘ)はｘの式
かなりの数の多重なグラフが生まれる。これを式の立場から、写像の立場から、グラフの立
場から同一視することを考えてみたい。
同じ値を持つが、式が異なる場合。
（イ） ｘ3ｙ2＋１＝０
（ロ） ３（ｘ3＋ｘ）ｙ2＋１＝０
（ハ） ２（ｘ4＋ｘ2）ｙ2＋（３ｘ4＋２ｘ3＋３ｘ2＋２ｘ＋４）＝０
（ニ） ｙ2＋ｘ＋３ｘ4＋２＝０
（ホ） ｙ2＋ｘ＋２ｘ4＋３＝０
零点以外は、等しいならば、同じ値をもち、グラフが同じになる。
Ｆ（ｘ，ｙ）＝ａ4(ｘ)ｙ4＋ａ3(ｘ)ｙ3＋ａ2(ｘ)ｙ2＋ａ1(ｘ)ｙ＋ａ0(ｘ)＝０
Ｇ（ｘ，ｙ）＝ｂ4(ｘ)ｙ4＋ｂ3(ｘ)ｙ3＋ｂ2(ｘ)ｙ2＋ｂ1(ｘ)ｙ＋ｂ0(ｘ)＝０
ｙ4＋｛ａ3(ｘ)/ａ4(ｘ)｝ｙ3＋｛ａ2(ｘ)/ａ4(ｘ)｝ｙ2＋｛ａ1(ｘ)/ａ4(ｘ)｝ｙ＋｛ａ0(ｘ)/ａ4(ｘ)｝＝０
ｙ4＋｛ｂ3(ｘ)/ｂ4(ｘ)｝ｙ3＋｛ｂ2(ｘ)/ｂ4(ｘ)｝ｙ2＋｛ｂ1(ｘ)/ｂ4(ｘ)｝ｙ＋｛ｂ0(ｘ)/ｂ4(ｘ)｝＝０
ａ4(ｘ)≠０ かつ ｂ4(ｘ)≠０ のとき、
ａｉ(ｘ)/ａ4(ｘ)＝ａｉ(ｘ)/ａ4(ｘ) （ｉ＝０、１、２、３） ⇔ Ｆ（ｘ，ｙ）≡Ｇ（ｘ，ｙ）
代数的合同
と定義する。
同じ値を持つ場合は簡約してもよい具体例：
ｙ＝ｘ2 → （０ １ ４ ４ １）ｍ
ｘ＝ｙ2 → （０ １ * * ２）ｍ 、（０ ４ * * ３）ｍ
値０が重覆しているので、簡約する。
Ｋ．Ｓ．さんより続報です。（平成２５年４月６日付け）
８．全単射の関数の次数
全単射を、グラフの立場から見ると、各点の次数がすべて２であること
写像の立場からみると、全射であること
関数の立場から見ると、
ｐ＝５のときは、１次関数のとき自明、3次関数のときは、標準形が
Ａ（ｘ＋α）3＋Ｄ＋４α の形 A(4)×Ｄ(5)×b(5)=100通り
ｆ（ｘ）：全単射 ⇒ ａｆ（ｘ＋ｙ）＋ｂ：全単射 ａ≠０
ｐ＝７のときは、1次関数、4次関数、5次関数が全単射になる事がわかる。
ａｘ＋ｂ ａ（６）×ｂ（７）＝４２
ａ（ｘ＋ｙ）4±３ａ（ｘ＋ｙ）＋ｃ＋４ｙ ａ（６）×（±２）×ｙ（７）×ｃ（７）＝５８８
ａ（ｘ＋ｙ）5＋ｃ＋４ｙ ａ×c×y＝６×７×７＝２９４
ａ（ｘ＋ｙ）5±３ａ（ｘ＋ｙ）2＋ｃ＋４ｙ ａ×（±）×ｙ×ｃ＝６×２×７×７＝５８８
ａ（ｘ＋ｙ）5＋ｂａ（ｘ＋ｙ）3＋３ｂ2ａ（ｘ＋ｙ）＋４ｙ ａ×ｂ×ｃ×ｙ＝６×６×７×７＝１７６４
ａｘ5＋ａ（６ｂ6＋５ｂ4＋６ｂ2）ｘ3＋ａ（３ｂ5＋２ｂ3＋３ｂ）ｘ2＋３ｂ2ｘ
ａ×ｂ×ｙ×ｃ＝６×６×７×７＝１７６４
７！＝４１＋５８８＋２９４＋５８８＋１７６４＋１７６４
一般のときは、どういう次数が全単射になるか？
