中国の古典「孫子算経」（４〜５世紀）の中に、次のような問題がある。
ある数を、３で割ると２余り、５で割ると３余り、７で割ると２余るという。ある数は何か。
このような問題は、吉田光由 著 「塵劫記」（江戸時代初期の頃）にも見ることが出来る。
いくつか解法が知られている。
（腕力にまかせる方法）
７で割って２余る数を並べると、
２、９、１６、２３、３０、３７、４４、５１、５８、６５、７２、７９、８６、９３、１００、・・・
この数列を５で割り、余りを求めると、２、４、１、３、０、２、４、１、３、０、２、４、１、３、０、・・・
この中で余りが３となる数を拾い出すと、 ２３、５８、９３、・・・
この数列を３で割り、余りを求めると、 ２、１、０、・・・ なので、求める答は、２３となる。
※ この解法は確実だが、時間がかかるのが難点だろう。
（和を利用する方法）
３と５の公倍数 １５、３０、４５、６０、・・・ の中で７で割って２余る数Ｐの最小値は、３０
３と７の公倍数 ２１、４２、６３、８４、・・・ の中で５で割って３余る数Ｑの最小値は、６３
５と７の公倍数 ３５、７０、１０５、１４０、・・・ の中で３で割って２余る数Ｒの最小値は、３５
Ｐ＋Ｑ＋Ｒは題意を満たし、３０＋６３＋３５＝１２８ から １０５＝３×５×７を減算して、
求める答は、２３となる。
（法則性に着目する方法）
５で割ると３余る数の一の位は、３ または ８ である。
７で割って２余る数で、一の位が、３ または ８ となる場合を拾い上げると、
２３、５８、９３、・・・
２３は、３で割って２余る数なので、題意に適する。よって、求める答は、２３となる。
（文字を利用する方法）
求める数をＭとおくと、題意より、 Ｍ＝３ａ＋２＝５ｂ＋３＝７ｂ＋２
このとき、 Ｍ＝３ａ＋２＝５ｂ＋３＝７ｂ＋２ において、
７（Ｍ−８）は、３、５、７の公倍数で、７（Ｍ−８）＝１０５ｋ （ｋは自然数）
Ｍ＝１５ｋ＋８＝２３、３８、・・・ より、求める答は、２３となる。
上記の解法では、「７（Ｍ−８）」が天下り的に現れ、違和感を持つ方が多数存在する恐れ！
このような場合に、合同式の記号（≡）を用いると、考えやすくなるだろう。
合同式を用いると、問題は、次のように書き直すことができる。（合同式→こちらを参照）
ある数を Ｘ として、 Ｘ≡２ （ｍｏｄ ３）、Ｘ≡３ （ｍｏｄ ５）、Ｘ≡２ （ｍｏｄ ７） の３式を
同時に満たす Ｘ を求めよ。
これは、正しく連立合同式の問題である。この連立合同式の解法については、Ｇａｕｓｓ の方
法が知られている。
Ｇａｕｓｓ の方法がいかにエレガントな解法であるかを理解するために、まず、高校生的解法
を眺めてみよう。
Ｘ≡２ （ｍｏｄ ３）から、Ｘ＝３ｐ＋２ （ｐ は整数）とかける。
さらに、Ｘ≡３ （ｍｏｄ ５）から、Ｘ＝３ｐ＋２＝５ｑ＋３ （ｑ は整数）とかける。
よって、３ｐ＋２＝５ｑ＋３ から、３ｐ＝５ｑ＋１＝６ｑ＋１−ｑ より、１−ｑ は、３の倍数。
そこで、１−ｑ＝−３ｒ （ｒ は整数）とおいて、もとの式に代入すると、
Ｘ＝５（３ｒ＋１）＋３＝１５ｒ＋８ となる。
また、Ｘ≡２ （ｍｏｄ ７）なので、Ｘ＝１５ｒ＋８＝７ｓ＋２ （ｓ は整数）とかける。
よって、１５ｒ＋８＝７ｓ＋２ から、７ｓ＝１５ｒ＋６＝１４ｒ＋ｒ＋６ より、ｒ＋６ は、７の倍数。
そこで、ｒ＋６＝７ｔ （ｔ は整数）とおいて、もとの式に代入すると、
Ｘ＝１５（７ｔ−６）＋８＝１０５ｔ−８２ （ｔ は整数） ・・・（答）
（ある数として、最小の自然数を想定すれば、上式に ｔ＝１ を代入して、２３ を得る。）
それでは、いよいよ、このページの眼目であるＧａｕｓｓ の方法を説明しよう。
Ｇａｕｓｓ の方法 （以下で、３個の連立合同式で説明しているが、何個でも成立する。）
ｐ、ｑ、ｒ が２つずつ互いに素で、ａ、ｂ、ｃ は任意の整数とする。このとき、
連立合同式 Ｘ≡ａ （ｍｏｄ ｐ）
Ｘ≡b （ｍｏｄ q）
Ｘ≡c （ｍｏｄ r）
の解は、次のようにして求められる。
ｍ＝ｐ・ｑ・ｒ とし、ｍ＝ｐ・Ｐ＝ｑ・Ｑ＝ｒ・Ｒ とおく。このとき、
Ｐ・Ａ≡１ （ｍｏｄ ｐ）
Ｑ・Ｂ≡１ （ｍｏｄ q）
Ｒ・Ｃ≡１ （ｍｏｄ r）
となる Ａ、Ｂ、Ｃ を求めれば、連立合同式の解は、
Ｘ≡ａ・Ｐ・Ａ＋b・Ｑ・Ｂ＋c・Ｒ・Ｃ （ｍｏｄ ｍ）
で与えられる。
このような解法の手順は、孫子にちなんで、孫子の剰余定理（または、中国剰余定理）と
も呼ばれる。（Ｇａｕｓｓ の方法の証明は、上の高校生的解法と同様になされる。）
実際に、冒頭の問題に対して、Ｇａｕｓｓ の方法を適用してみよう。
連立合同式
Ｘ≡２ （ｍｏｄ ３）
Ｘ≡３ （ｍｏｄ ５）
Ｘ≡２ （ｍｏｄ ７）
において、
ｍ＝３・５・７＝１０５ で、
３５・Ａ≡１ （ｍｏｄ ３）を満たすＡとして、Ａ＝２
２１・Ｂ≡１ （ｍｏｄ ５）を満たすＢとして、Ｂ＝１
１５・Ｃ≡１ （ｍｏｄ ７）を満たすＣとして、Ｃ＝１
よって、求める解は、
Ｘ≡２・３５・２＋３・２１・１＋２・１５・１
＝１４０＋６３＋３０
＝２３３ （ｍｏｄ １０５）
≡２３ （ｍｏｄ １０５）
Ｇａｕｓｓ の方法はまた、分数を部分分数に分解する問題に対しても有効である。
