生命は周りの環境の影響を受けて、その個体数の維持がなされているという。そのような
現象を予測する式として、ロジスティック写像なるものが知られている。
ある時刻 ｎ における、ある個体の存在する密度を ｘｎ とおく。このとき、次の時刻 ｎ＋１
における、ある個体が存在する密度 ｘｎ+1 は、前の時刻の密度 ｘｎ から増える量はもちろ
ん、あとどれくらい増える可能性が残っているかということで、（１− ｘｎ ）という量にも影響
を受けることは十分想像できる。
すなわち、閉じた空間に生息する生物は、ある程度までは増加するが、例えば、栄養難
などで、生命維持が困難になり、増加率が減少に転じることは十分理解できる。ある程度
個体数が減少したら、栄養補給の余剰から、また増加率が上昇するということも考えられ
る。
そこで、次のようなロジスティック写像が考えられる。（ロバート・メイ １９７６年）
０≦ａ≦４ に対して、 ｘｎ+1＝ａｘｎ（１−ｘｎ） ただし、 ０≦ｘ0≦１
上記の「ａ」の値が微妙に、生命体の将来の状態に大きく関わってくる。この「ａ」の値を
繁殖率と理解すると分かりやすいだろう。
ａ＝２ 、 ｘ0＝０．００１ として、その後の変化を図示してみると、
時間の経過とともに、一定値の「０．５」に近づいている様子が伺える。
ところが、 ａ＝４ 、 ｘ0＝０．００１ として、その後の変化を図示してみると、
となって、まさに「混乱状態（カオス）」となっている。
漸化式 ｘｎ+1＝４ｘｎ（１−ｘｎ） で定まる数列 ｛ ｘｎ ｝は、簡単な２次関数
Ｆ（ｘ）＝４ｘ（１−ｘ）
を使って生成される。この２次関数が乱数発生の簡便な規則を与えることを最初に発見し
たのは、フォン・ノイマンとウラムと言われる。
数を生成する規則が定まっているのに、その規則から生成される数が不規則に変化す
るとは、とても不思議な現象だ。
また、 ａ＝３．５ 、 ｘ0＝０．００１ として、その後の変化を図示してみると、
となって、いくつかの値の間を行ったり来たりするような振る舞いを示す。
また、 ａ＝０．５ 、 ｘ0＝０．００１ として、その後の変化を図示してみると、
となって、時間の経過とともに、一定値の「０」に近づいている様子が伺える。
これでは、種の保存ができませんね！
簡単な写像の式で、ａ の値を適当に変えるだけで、これほどまでに異なる振る舞いを見
せてくれる、とても面白い写像と言える。
この写像に関して、次のことが知られているようだ。
０≦ａ≦１ のとき、 ｘｎ → ０
１＜ａ≦２ のとき、 ｘｎ → １−１/ａ （単調に！）
（→ 上記の計算で、ａ＝２ のとき、確かに、ｘｎ → ０．５ ）
２＜ａ≦３ のとき、 ｘｎ → １−１/ａ （振動しながら！）
３＜ａ≦３．５６９９４５６・・・ のとき、 ｘｎ は、２ のべき乗個の間を振動するらしい！
３．５６９９４５６・・・＜ａ≦４ のとき、 ｘｎ の値の変化は、不規則（カオス？）らしい！
（追記） 平成２５年７月４日付け
最近、ある研究会に参加したとき、次のような問題が話題になった。
ある島で、１００頭の羊がいる。その年、３０頭の羊が生まれ、１０頭が死んだ。羊の個体
数はこの後、どのように変化するだろうか？但し、その島の面積や植生などを考えて、その
島に生存できる羊は１０００頭までと考えるものとする。
単純に考えれば、毎年１．２倍の増加率であるが、限界数があるので事はそう単純にはい
かないようだ。
これは、まさしく上記で話題になったロジスティック写像そのものである。あとどれくらい増
えることができるかという因子も関わってくるので、立式すれば、例えば、次のようなものに
なるだろう。
ｎ年後の羊の個体数をａｎとおくと、
ａ1＝１００ 、 （ａｎ+1−ａｎ）/ａｎ＝（１０００−ａｎ）/４５００
ここで、「４５００」という数字をいろいろいじってみると、様々な変化が見て取れる。生命は
そのどれを選択し、変化していくのだろう。興味はつきない。
以下、工事中