関数の決定 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　いくつかの与えられた条件から関数を決定する問題は、大学入試の頻出問題だろう。この
ページでは、そのような種々の問題を集めていこうと思う。

　次は、東北大学　文系（１９７１）の問題である。

問題　　関数 Ｆ（ｘ）＝−ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ が、次の３つの条件を満たすとき、ａ、ｂ、ｃ を決
　　定して、関数 ｙ＝Ｆ（ｘ） のグラフの概形を描け。

　（Ａ）　方程式 Ｆ（ｘ）＝０ の正根は ｘ＝１ だけである。
　（Ｂ）　Ｆ（ｘ） は ｘ＝１ で極値をとる。
　（Ｃ）　２直線 ｘ＝０、ｙ＝０ および曲線 ｙ＝Ｆ（ｘ） で囲まれた部分の面積は３/４に等しい。

（解）　条件（Ａ）（Ｂ）より、　Ｆ（ｘ）＝−（ｘ−α）（ｘ−１）² （α≦０）　とおける。

条件（Ｃ）より、　−∫₀¹ Ｆ（ｘ）ｄｘ＝３/４　である。

　Ｆ（ｘ）＝−（ｘ−α）（ｘ−１）²＝−（ｘ−１）³＋（α−１）（ｘ−１）²　と式変形すると、

　−１/４−（α−１）/３＝３/４　より、　α＝−２

よって、　Ｆ（ｘ）＝−（ｘ＋２）（ｘ−１）²＝−ｘ³＋３ｘ−２　となり、　ａ＝０、ｂ＝３、ｃ＝−２

Ｆ’（ｘ）＝−３ｘ²＋３＝−３（ｘ＋１）（ｘ−１）＝０　とおくと、　ｘ＝１、−１

増減表を調べると、

　　

よって、グラフの概形は下図となる。

　　　　（終）


（追記）　令和６年１１月２９日付け

　次の東北大学　理系（１９８７）の問題は、計算あるのみである。

問題２　　ａ、ｂ を正の整数とする。関数 Ｆ（ｘ）＝４ｘ³−ａｘ²＋２ｂｘ−８ が次の３つの条件を
　　同時に満たすような ａ、ｂ の組をすべて求めよ。.
（�@）　Ｆ（１）＞０
（�A）　Ｆ（ｘ）は極値をもつ。
（�B）　ｃ_ｎ＝∫₀^2n-1 Ｆ（ｘ）ｄｘ　（ｎ＝１、２、３）　で定義される ｃ₁、ｃ₂、ｃ₃ が等比数列をなす。

（解）　Ｆ（１）＝−ａ＋２ｂ−４＞０　より、　ａ＜２ｂ−４　または、ｂ＞（ａ＋４）/２

　Ｆ’（ｘ）＝１２ｘ²−２ａｘ＋２ｂ＝０　とおくと、極値を持つことから、　ａ²−２４ｂ＞０

すなわち、　ａ²＞２４ｂ　または、　ｂ＜ａ²/２４

ｃ_ｎ＝[ｘ⁴−（ａ/３）ｘ³＋ｂｘ²−８ｘ]₀^2n-1　より、

ｃ₁＝−（１/３）ａ＋ｂ−７

ｃ₂＝−（８/３）ａ＋４ｂ

ｃ₃＝−（６４/３）ａ＋１６ｂ＋２２４

条件より、ｃ₁、ｃ₂、ｃ₃ は等比数列をなすので、　ｃ₂²＝ｃ₁ｃ₃

よって、　（−（８/３）ａ＋４ｂ）²＝（−（１/３）ａ＋ｂ−７）（−（６４/３）ａ＋１６ｂ＋２２４）　より、

　ａｂ−１４ａ−２１ｂ＋２９４＝０　すなわち、　（ａ−２１）（ｂ−１４）＝０

よって、　ａ＝２１　、ｂ＝１４

ａ＝２１　のとき、　ｂ＞（ａ＋４）/２＝１２．５　、ｂ＜ａ²/２４＝１４７/８＝１８．３７５

　よって、　（ａ，ｂ）＝（２１，１３）、（２１，１４）、（２１，１５）、（２１，１６）、（２１，１７）、（２１，１８）

ｂ＝１４　のとき、　ａ＜２ｂ−４＝２４　、ａ²＞２４ｂ＝３３６　より、　ａ＞√３３６＝１８．３３

　よって、　（ａ，ｂ）＝（１９，１４）、（２０，１４）、（２１，１４）、（２２，１４）、（２３，１４）

以上から、求める ａ、ｂ の組（ａ，ｂ）は、以下の１０個である。

（ａ，ｂ）＝（２１，１３）、（２１，１４）、（２１，１５）、（２１，１６）、（２１，１７）、（２１，１８）、
　　　（１９，１４）、（２０，１４）、（２２，１４）、（２３，１４）　　（終）


（追記）　令和７年３月２４日付け

　次の東北大学　後期理系（１９９０）の問題は、題意を把握するのに苦労するかもしれない。

問題　　Ｆ（ｘ）＝ｘ²−２ｘ＋（７/１６）∫_-1¹ ｜Ｆ（ｘ）｜ｄｘ　・・・　(*)　を満たす関数Ｆ（ｘ）につい
　　て考える。
（１）　ｋを負でない実数とするとき、不等式 ∫_-1¹ ｜ｘ²−２ｘ＋ｋ｜ｄｘ≧４/３＋ｋ　が成り立
　　つことを示せ。
（２）　Ｆ（ｘ）＝ｘ²−２ｘ＋ｋ　（ｋ≧１）　の形の(*)の解を求めよ。
（３）　Ｆ（ｘ）＝ｘ²−２ｘ＋ｋ　（０≦ｋ＜１）　の形の(*)の解は存在するか。存在するならその解
　　を求め、存在しないならそのことを示せ。

（解）（１）　ｘ²−２ｘ＋ｋ＝（ｘ−１）²＋ｋ−１　より、　軸の式は、　ｘ＝１

　ｋ≧１　のとき、　ｋ−１≧０　で、　ｘ²−２ｘ＋ｋ≧０

このとき、　∫_-1¹ ｜ｘ²−２ｘ＋ｋ｜ｄｘ＝∫_-1¹ （ｘ²−２ｘ＋ｋ）ｄｘ＝２/３＋２ｋ

　２/３＋２ｋ−（４/３＋ｋ）＝ｋ−２/３＞０　なので、　２/３＋２ｋ＞４/３＋ｋ

よって、　ｋ≧１　のとき、　∫_-1¹ ｜ｘ²−２ｘ＋ｋ｜ｄｘ≧４/３＋ｋ　は成り立つ。

０≦ｋ＜１　とする。　ｘ²−２ｘ＋ｋ＝０　を解くと、　ｘ＝１±√（１−ｋ）

このとき、　−１＜１−√（１−ｋ）＜１　である。

よって、

∫_-1¹ ｜ｘ²−２ｘ＋ｋ｜ｄｘ

＝∫_-1^1-√(1-k） （（ｘ−１）²＋ｋ−１）ｄｘ＋∫_1-√(1-k）¹ （−（ｘ−１）²−ｋ＋１）ｄｘ

＝[（ｘ−１）³/３−（１−ｋ）ｘ]_-1^1-√(1-k）＋[−（ｘ−１）³/３＋（１−ｋ）ｘ]_1-√(1-k）¹

＝−（√（１−ｋ））³/３−（１−ｋ）（１−√（１−ｋ））＋８/３−（１−ｋ）

　＋（１−ｋ）−（√（１−ｋ））³/３−（１−ｋ）（１−√（１−ｋ））

＝−２（√（１−ｋ））³/３−２（１−ｋ）（１−√（１−ｋ））＋８/３

＝４（√（１−ｋ））³/３＋２ｋ＋２/３

０≦ｋ＜１　のとき、　√（１−ｋ）≧１−ｋ　なので、

　４（√（１−ｋ））³/３＋２ｋ＋２/３≧４（１−ｋ）³/３＋２ｋ＋２/３

ここで、　ｙ＝４（１−ｋ）³/３＋２ｋ＋２/３−（４/３＋ｋ）　とおくと、　ｙ’＝４（１−ｋ）²＋１＞０

から、ｙは単調に増加する。　ｋ＝０　のとき、　ｙ＝４/３＋２/３−４/３＝２/３＞０　なので、

　０≦ｋ＜１　のとき、　∫_-1¹ ｜ｘ²−２ｘ＋ｋ｜ｄｘ≧４/３＋ｋ　は成り立つ。

以上から、負でない実数ｋに対して、∫_-1¹ ｜ｘ²−２ｘ＋ｋ｜ｄｘ≧４/３＋ｋ　が成り立つ。

（２）　ｋ≧１　のとき、　（７/１６）（２/３＋２ｋ）＝ｋ　を解いて、　ｋ＝７/３

　よって、　Ｆ（ｘ）＝ｘ²−２ｘ＋７/３

（３）　０≦ｋ＜１　のとき、　（７/１６）（４（√（１−ｋ））³/３＋２ｋ＋２/３）＝ｋ　より、

　４（√（１−ｋ））³/３＝（２/７）ｋ−２/３

　左辺は正で、右辺は負なので、上式を満たす実数ｋは存在しない。　　（終）



　　以下、工事中！