席替えをして、また同じ席になった生徒に、「おや、不動点でしたね！」なんて言うと、生徒
に怪訝な顔をされる。世の中には、「不動点」なるものが方々に転がっている。同じ地図を２
枚用意し、１枚の地図を、もう１枚の地図に適当に重ねて置くと、地図上の同一点で丁度上
下に重なる点が存在するという。
東北大学 文系（１９７８）で、この不動点の問題が出題された。
問題 写像 Ｆ（ｘ）＝（２ｘ＋ａ）/（ｘ＋ｂ） に対して、Ｆ(ｘ)＝x を満たす ｘ があるとき、この ｘ を
Ｆの不動点という。Ｆが、絶対値が等しく符号が反対な、２個の不動点をもつためには、
ａ、ｂ がどのような条件を満たすことが必要十分であるか。
また、このとき ｙ＝Ｆ（ｘ） と ｙ＝ｘ のグラフの関係を図示せよ。
（解） 題意より、正の不動点をαとおくと、もう一つの不動点は、−αとなる。
（２α＋ａ）/（α＋ｂ）＝α より、 α2＋（ｂ−２）α−ａ＝０
（−２α＋ａ）/（−α＋ｂ）＝−α より、 α2−（ｂ−２）α−ａ＝０
よって、 ｂ＝２ で、α2＝ａ＞０ である。
逆に、 ｂ＝２、ａ＞０ のとき、
Ｆ（ｘ）＝（２ｘ＋ａ）/（ｘ＋２）＝２＋（ａ−４）/（ｘ＋２）
ａ＝４ のとき、Ｆ（ｘ）＝２ となり、不動点を持たないから、 ａ≠４ である。
０＜ａ＜４、ａ＞４ の何れにおいても、Ｆは題意を満たす不動点を持つ。（グラフは省略）
以上から、求める必要十分条件は、 ｂ＝２ 、ａ＞０ 、ａ≠４ （終）
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