空間の分割数　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　東京工業大学の入試問題（２０１９年度）に空間の分割数を問う問題が出題された。「難し
い！」と巷間を賑わした問題のようで、少し興味があり解いてみた。


　東京工業大学　前期理系（２０１９）（改題）

　空間の相異なるｎ枚の平面によって、いくつの空間領域に分割される。この分割数の最大
値を求めよ。


　ｎ＝１、２、３　について、具体的に分割数の最大値を求めてみよう。

　ｎ 枚の平面による分割数の最大値をＨ_ｎとおく。

　Ｈ₁＝２　、Ｈ₂＝４　、Ｈ₃＝８　であることは明らかだろう。


　実は、この問題を解くためには、次の問題が大いに関係してくる。

　「平面上において異なる ｎ 本の直線が一般の位置にあるものとする。これらの直
　線で平面はいくつに分割されるか？」

は、漸化式を用いて解く有名問題である。ｎ 本の直線による平面の分割数をＬ_ｎとおく。

　例えば、　Ｌ₁＝２　、Ｌ₂＝４　、Ｌ₃＝７　であることは明らかだろう。

問題　次の図において、平面はいくつに分割されているか？

左図において、　Ｌ5＝１６　である。 　　　　上記の値はもちろん数え上げてもよいが、次のよう 　　　に計算できる。 　　　　Ｌ3＝Ｌ2＋３＝４＋３＝７ 　　　　Ｌ4＝Ｌ3＋４＝７＋４＝１１ 　　　　Ｌ5＝Ｌ4＋５＝１１＋５＝１６

　一般の位置にある直線による平面の分割数を問う問題は「ケーキ数の問題」と言われ、そ
のとき出来る数列

　２、４、７、１１、１５、・・・

は、「lazy　cateree's　sequence」（怠けた仕出し屋数列）と言われる。

　ケーキを分割する最大個数は、

　ｐ＝（ｎ²＋ｎ＋２）/２＝１＋（ｎ²＋ｎ）/２＝_nＣ₀＋_n+1Ｃ₂＝_nＣ₀＋_nＣ₁＋_nＣ₂

で与えられる。


　このとき、東京工業大学の問題は、次の漸化式を解く問題に帰着される。

　Ｈ₁＝２　、Ｈ₂＝４　、Ｈ_n+1＝Ｌ_ｎ＋Ｈ_ｎ

　Ｌ₁＝２　、Ｌ₂＝４　、Ｌ_ｎ+1＝Ｌ_ｎ＋ｎ＋１

　ｎ≧２のとき、　Ｌ_ｎ＝Ｌ₁＋（２＋３＋・・・＋ｎ）＝（ｎ²＋ｎ＋２）/２

　この式は、ｎ＝１のときも成り立つ。

　よって、ｎ≧２のとき、　Ｈ_ｎ＝Ｈ₁＋Σ_k=1^n-1Ｌ_k＝（ｎ³＋５ｎ＋６）/６

　この式は、ｎ＝１のときも成り立つ。



　　　以下、工事中