凸図形の基礎知識 
三角形、長方形、円、直方体、円柱、円錐、球、・・・など世の中には様々な凸図形が存在
する。
これらに共通する性質は、「凹（へこ）んでいない」という点だろう。この性質を、数学的に
記述すれば、
図形上の任意の２点を結ぶ線分上の点はまた図形上の点である
すなわち、原点を始点とする点Ｐの位置ベクトルを、Ｐ と書くとき、
『 図形 Ｋ 上の任意の２点 Ｐ と Ｑ に対して、
Ｒ＝ｓＰ＋ｔＱ （ ｓ＋ｔ＝１ 、ｓ≧０ 、ｔ≧０ ）
で定まる点 Ｒ もまた図形 Ｋ 上の点である 』
ということである。
したがって、 次のような場合は、凸図形とは言わない。
凸図形の例 上記であげたもの以外に次の図形も凸図形である。
（１） 直線、半直線、線分、点
（２） 中心角がπ以下の扇形
（３） 平面、半平面
これ以外にも、たくさん凸図形は存在する。
凸図形の定義から、次の事実が成り立つことは明らかだろう。
凸図形 Ｋ が同一直線上にない３点Ａ、Ｂ、Ｃを含めば、△ＡＢＣはＫに含まれる
したがって、
同一直線上にない３点Ａ、Ｂ、Ｃを含む最小の凸図形は、△ＡＢＣである
ことが言える。
いま、２つの図形 Ｋ と Ｈ の交わりの図形を、 Ｋ∩Ｈ と表すことにする。
このとき、次の事実が成り立つ。
２つの図形 Ｋ と Ｈ が凸図形ならば、その交わり Ｋ∩Ｈ も凸図形である
（証明） Ｋ∩Ｈ≠φ とする。 Ｋ∩Ｈ が１点だけからなる場合は、明らかに凸図形。
Ｋ∩Ｈ の任意の異なる２点を Ｐ と Ｑ とする。
このとき、Ｋ 、Ｈ は凸図形なので、 線分ＰＱは、Ｋ 、Ｈ に含まれる。
よって、 線分ＰＱは、Ｋ∩Ｈ に含まれるので、 Ｋ∩Ｈ は凸図形である。 （証終）
次の事実が成り立つことも明らかだろう。
凸図形の内部の点から引いた半直線は、凸図形の境界とただ１点で交わる
半直線は凸図形なので、凸図形との交わりは凸図形。線分ＰＱの両端を除いて線分上
の点は全て凸図形の内部の点である。よって、半直線と凸図形の境界との交点は点Ｑの
みである。
上図で、点Ｐの周りに点Ｑが境界上を動くとき、点Ｑには２つの向きが可能である。
反時計回りに動くとき、 正の巡回
時計回りに動くとき、 負の巡回
と名付ける。
さらに、直線は平面を２つの半平面（凸図形）に分けるので、
凸図形と直線が交わるとき、凸図形は２つの凸図形に分割される
ことも明らかだろう。
右図のように、凸図形 Ｋ に対して、
Ｋ の境界と共有点を持つが、
Ｋ の内部の点とは共有点を持たない
ような直線 Ｌ のことを、
凸図形 Ｋ の 支持直線
という。 |
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（支持直線というのは、いわゆる「接線」というイメージで理解していいのだろうか？）
この点に関して、ＨＮ「takahiro」さんからのコメントです。（平成２９年７月１３日付け）
支持直線は境界線が連続であればいいのに対して、接線は境界線が微分可能である必
要があります。
（コメント） 支持直線の方が広い意味なんですね！takahiro さんに感謝します。
凸図形の境界の点に「向き」が考えられたように支持直線についても「向き」が考えられる。
支持直線 Ｌ の正の向きを、
凸図形 Ｋ が、支持直線 Ｌ の左側にあるような向き
と定める。即ち、下図の向きが、支持直線 Ｌ の正の向きである。
多角形のうち、凸図形の性質を持つものを、凸多角形という。
凸多角形 Ｋ とその境界上の点 Ｐ を通る支持直線 Ｌ について、点 Ｐ が境界上で正の
巡回に１周すれば、支持直線 Ｌ は反時計回りに３６０度回転する。
（このことは、一般の凸図形についても成り立つ性質だろう。）
有界な凸図形 Ｋ に対して、内接する凸多角形や外接する凸多角形が定義される。
内接する凸多角形 ・・・ 境界上の幾つかの点を正の巡回の向きに線分で結んで得られ
る図形
外接する凸多角形 ・・・ 全ての辺が凸図形 Ｋ の支持直線の一部である図形
（コメント） 今まで三角形の頂点に名前を付けるとき、反時計回りに付けることが多かっ
た。これは、まさに凸図形の正の巡回の向きと一致する。これまで、「人間は右
利きが多い。右利きの人が一番書きやすい向きが反時計回りだよ！」と、思っ
ていたが、実は違うんですね！
今までは、凸図形として、平面上の図形をイメージしてきたが、もちろん、３次元空間にお
ける凸図形も考えられる。
３次元空間における凸図形のことを、凸体という。
凸図形の定義から、次の事実が成り立つことは明らかだろう。
凸体 Ｋ が同一平面上にない４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを含めば、四面体Ａ-ＢＣＤはＫに含
まれる
したがって、
同一平面上にない４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを含む最小の凸体は、四面体Ａ-ＢＣＤである
ことが言える。
また、次の事実が成り立つ。
２つの図形 Ｋ と Ｈ が凸体ならば、その交わり Ｋ∩Ｈ も凸図形である
交わりが１点だったり、線分だったり、面だったり、凸体だったり、様々の可能性があるだ
ろう。
次の事実が成り立つことも明らかだろう。
凸体の内部の点から引いた半直線は、凸体の境界とただ１点で交わる
半直線は凸図形なので、凸図形との交わりは凸図形。線分ＰＱの両端を除いて線分上
の点は全て凸体の内部の点である。よって、半直線と凸体の境界との交点は点Ｑのみで
ある。
右図のように、凸体 Ｋ に対して、
Ｋ の境界と共有点を持つが、
Ｋ の内部の点とは共有点を持たない
ような平面 Ｌ のことを、
凸体 Ｋ の 支持平面
という。 |
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（球の支持平面は、その接平面なので、何となくイメージできるかな？）
このとき、次の事実が成り立つは明らかだろう。
凸体の内部の点から引いた半直線に対して、この半直線に垂直な支持平面がただ
一つ存在する
左図のように、凸体 Ｋ の境界上の点Ｑを通る支持平
面 Ｌ に垂直で、外側に向かうベクトルを、点Ｑにおける
外法線という。
平面上における「角」の役割を、３次元空間では、凸錐が果たす。
凸錐とは、１点から無数に出る半直線からなる非有界な凸体のことをいう。
上図では円錐を用いたが、凸多角錐や、なす角がπより小の２平面で挟まれる凸体なども
凸錐の例になる。
球の表面上に２点Ａ，Ｂがあり、これらは直径の両端ではないものとする。このとき、２点
Ａ，Ｂを通る大円がただ1つ存在する。２つできる弧のうち、小さい方を通常考え、これを、２
点Ａ，Ｂを結ぶ球面弧という。
直径の両端を含まず、任意の２点を結ぶ球面弧も含む球面上の図形を、球面上の凸図
形という。
上記の円錐と球面が交わるとき、その交わりは、球面上の凸図形となる。
また、球面上の凸 ｎ 角形は、ｎ 個の大円で囲まれる球面上の凸図形である。
（ｎ＝３ のときは、球面三角形となる。）
凸図形の支持直線（平面）を用いて、凸図形の幅が定義される。
凸図形 Ｋ に対して、直線 Ｌ に垂直な２つの支持直線（平面）の間の距離を、
直線 Ｌ に沿う方向の幅
という。このとき、幅が最大になる場合と最小になる場合がある。
例 円は、どの方向においても幅が一定である。（定幅曲線 → 参考： 正方形を彫る ）
例 楕円では、長軸方向が最大幅を与え、短軸方向が最小幅を与える。
次の事実が成り立つことは明らかだろう。
凸図形上の２点間の距離の最大値（直径という）は、最大幅に等しい
例 円の最大幅は、円の直径に等しい。
平行な支持直線間の距離が常に一定である凸図形は、定幅曲線と言われる。上記の例
からも明らかなように、円は定幅曲線の最も簡単な例である。
円とは異なる定幅曲線では次の例が有名だろう。
例 １辺がａの正三角形において、各頂点で半径ａの円弧を描く。
（証明） 互いに平行な２本の支持直線をどのように引いても、１つは必ず正三角形の頂点
を通り、他方は、円弧の接線となるので、その距離は常に一定である。 （証終）
以下、工事中