フェルマー素数                              戻る

 Fn=22n+1 の形の素数をフェルマー素数という。

例 F0=3、F1=5、F2=17、F3=257、F4=65537 は素数である。

  しかし、F5=225+1=4294967297=641×6700417 から、F5 は素数でない。

 当HP読者のHN「◎n★」さんが、フェルマー素数の一般化 a2x+b2x というものを考え
られた。(平成24年7月2日付け)

 a2x+b2x において、(a,b)=(1,2) を代入したものが、有名なフェルマー素数である。

 簡単に、(a,b)=(2,3)、(3,4)、(5,6) 辺りまで代入して計算を行うと、いくつか素数が
発見できましたが、証明はできていません。

 例えば、(a,b)=(3,4) で、x=1 のとき、 32+42=25 となって、明らかに平方数で
素数ではありません。数字が合うと、たくさんの素数が発見できるようです。いろいろな数
で試してみたいと思います。


 当HPがいつもお世話になっているHN「空舟」さんからのコメントです。
                                       (平成24年7月2日付け)

 文字式がどんな分布で素数を出すのかは、とても難しい問題として知られています(x2+1
型の素数が無限に存在するのかという一見単純な問題も未解決らしいです)が、今回の式
で、xを固定して考えたときについては、実は次の事実があります。参考にしてみてください。

(1) 互いに素な整数a、bについて、a2x+b2x が2以外の素数pで割り切れるならば、pは、
  (2x+1)N+1型である。

(2) 逆に、任意の(2x+1)N+1型の素数pについて、bがpの倍数でなければ、合同方程式
  x2x+b2x≡0 (mod p)の解は、2個存在する。

 言いかえると、a、bが共にpの倍数でなければ、a、bを十分広い範囲で組み合わせると、
およそ (2)/(p−1) の割合で、a2x+b2x は、pで割り切れる。

例 x=3 のとき

・a8+b8 の約数は、2以外では、16N+1型に限られます。
・p=17については、だいたい 8/16=1/2 の割合で、a8+b8 は、17で割り切れます。
・次の16N+1型素数は97で、8/96=1/12の割合で、a8+b8 は、97で割り切れます。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

(1)の略証: Aa≡1 (mod p)となるAをとると、(Ab)2≡-1 (mod p)

       Abは、2x+1乗して初めて1に合同になる。 (Ab)k≡1 ⇔ kは、2x+1 の倍数

       フェルマーの小定理から、Abは、p−1乗したら 1 に合同になるから、p−1は

       2x+1の倍数  (略証終)

(2)の略証: p−1乗して初めて1に合同になる「原始根」 r をとれば、

     (ry)2≡1 (mod p) ⇔ (2)y≡0 (mod p-1) ⇔ y は、(p−1)/2 の倍数

  というような考察から....。



   以下、工事中!