物理の問題に親しむ                         戻る

 私の高校のときの担任の先生が物理の先生で、週8時間、相当鍛えられた。夏休みも物
理の実験に明け暮れ、その頃がとても懐かしい。そんなわけで徒然なるままに関心の趣くま
まに物理の問題に取り組んでいこうと思う。

問題1(反射の法則)

 2枚の鏡を直角にして向かい合わせ、この間に光源を置いたら、その像はどこにできるか?

(解)
   

問題2(球面鏡の一般公式:1/a+1/b=1/f  光源までの距離a、像までの距離b、焦点距離f

 焦点距離30cmの凹面鏡の前方10cmにある光源の像の位置を求め、実像か虚像か求
めよ。

(解) 1/10+1/b=1/30 より、 b=−15  よって、凹面鏡の後方15cmの位置に

   虚像を生ずる。

問題3(像の倍率と正立・倒立の公式 m=−b/a m>0 のとき正立、m<0 のとき倒立

 凸面鏡による像は必ず正立し、元の物体より小さくなることを示せ。

(解) 1/a+1/b=1/f から、 b=af/(a−f) これを、m=−b/a に代入して、

   m=−f/(a−f)

  題意より、 a>0、f<0 であるので、 m>0 となる。よって、像は必ず正立。

  さらに、 m<1 なので、像は元の物体より小さくなる。

問題4 自動車のバックミラーに凸面鏡が用いられるのはなぜか?

(解) 視野が広くなるから。

問題5(レンズの公式:1/a+1/b=1/f  光源までの距離a、像までの距離b、焦点距離f

 焦点距離30cmの凸レンズの前方60cmに光源を置き、凸レンズの後方20cmに焦点
距離30cmの凹レンズを置く。像はどこにできるか。

(解) 凹レンズがなかったとすれば、 1/60+1/b=1/30 より、 b=60  よって、凸

  レンズの後方60cmの位置に像を生ずる。実際は、途中凹レンズがあるので、

  1/(−40)+1/b=1/(−30) より、 b=−120

  よって、凸レンズの前方100cmに虚像ができる。

問題6 重さWkgwの一様な太さの棒の両端A、Bに丈夫な糸をつけて吊したら、下図のよ
    うにA端の糸は水平と60°、B端の糸は水平と30°傾いて釣り合った。糸の引っ張
    りの張力T、Tおよび棒の傾きの角θを求めよ。

   

(解) 力の釣り合いを考えて、

  (1/2)T=(/2)T 、(/2)T+(1/2)T=W

 これより、 T なので、 T=(1/2)W すなわち、 T=(/2)W

 棒の全長をLとすると、Gの周りのモーメントを考えて、

  Tsin(60°−θ)・(L/2)=Tsin(30°+θ)・(L/2)

 よって、 (sin60°cosθ−cos60°sinθ)=sin30°cosθ+cos30°sinθ より、

  −tanθ)=1+tanθ

  したがって、 tanθ=1/ から、 θ=30°

問題7 重さ5kgwの物体Aと3kgwの物体Bとを軽い糸で結び、粗な斜面に載せてある。物
    体と斜面との摩擦係数はそれぞれμ=0.2、μ=0.3とする。斜面の傾きがしだ
    いに大きくなり、物体が滑り始めるときの斜面の傾角θを求めよ。

    

(解) 物体が滑り始めるときの糸の張力をT、物体A、Bに働く面の抗力をN、N、最大摩

 擦力をF、Fとすると、 T+F=5sinθ 、N=5cosθ 、F=0.2N より、

    T+0.2×5cosθ=5sinθ

 同様にして、T+3sinθ=0.3×3cosθ なので、 cosθ−3sinθ=5sinθ−0.9cosθ

 よって、 8sinθ=1.9cosθ より、 tanθ=1.9/8=0.238 なので、

  θ=13°+1°×(238−231)/(249−231)=13.4°

問題8 つるまきばねの下端に20gのおもりをつるしたら6cm伸びた。このつるまきばねの
    下端から全長の1/3のところに15gのおもりをつるしたら何cm伸びるか?

(解) フックの法則から、20=6k より、 k=10/3(gw/cm)

   15gのおもりを下端につるして x cm伸びるとすると、 15=kx より、 x=9/2(cm)

  全体が一様に伸びるとして、求める伸びは、 (9/2)×(2/3)=3(cm)

問題9 長さLcmのつるまきばねの両端を上下Lcmだけ離れた2点に固定する。上から
     x cmのところにおもりを結びつける。おもりの位置の下がりを最大にするには、x
    の値をどうとればよいか。

(解) おもりの重さをWgwとし、y cm伸びて釣り合ったものとすると、フックの法則から、

   おもりの上の部分では、張力 T1=k(L/x)y

   おもりの下の部分では、押し上げの力 T2=k(L/(L−x))y

 なので、釣り合うことから、 k(L/x)y+k(L/(L−x))y=W

 すなわち、 y=(W/(KL))/(1/x+1/(L−x)) を最大にするには、z=1/x+1/(L−x)

 を最小にすればよい。 dz/dx=−1/x2+1/(L−x)2=2L(x−L/2)/x2(L−x)2

 から、zは、x=L/2 で極小かつ最小となる。

 以上から求めるx の値は、L/2(cm)


(コメント) 微分 dz/dx を使わずとも、z=L/x(L−x) から、
      x(L−x)=−x2+Lx=−(x−L/2)2+L2/4 より、 x=L/2 を見いだす方が
     高校生向けかな?

問題10 1kgwの力で引っ張ると長さが1.5倍に伸びるゴムひもがある。これを水平に張
      り中央におもりを吊したら、ゴムひものなす角が60°になった。このおもりの重さ
      はいくらか?

      

(解) ゴムひもの長さをL(cm)とする。張力をTとすると、題意より、 T=2(kgw)

  また、釣り合うことから、2Tcos30°=W より、 W=T=2(kgw)

問題11(アルキメデスの原理)

 水が入ったビーカーに、質量m(g)、密度n(g/cm3)の物体を細い糸で吊り、これが全部
隠れるまで水中に入れビーカーの壁や底につかないようにした。質量はいかほど増えるか?

(解) 最初の水が入っただけのビーカーの質量をM(g)とする。

  糸の張力をTとすると、アルキメデスの原理から、 T=mg−(m/n)g (dyn)

  物体の入ったビーカーの質量をFとすると、釣り合いの関係から、

   Fg=(M+m)g−T=Mg+(m/n)g より、m/n(g)だけ質量が増える。

問題12 氷を食塩水に浮かべたところ、体積のちょうど1/9が水面上に出たという。氷の比
     重を0.927として、この食塩水の密度を求めよ。

(解) 氷の体積をV(cm3)、食塩水の密度をn(g/cm3)とおくと、釣り合いの関係から、

   0.927V=(8/9)V・n より、 n=1.042875  よって、およそ1.04(g/cm3

問題13 容器内の水に浮かんでいる氷が溶けると水位は変化するか?

(解) 釣り合いの関係から、氷の重さは水面下の体積の水の重さに等しい。溶けても重さ

  に変化がないので、水位も変化しない。

問題14 ある点が x=2+6t−t2 の運動をしているとき、x=8(m)を通るときの速さを求
     めよ。また、速さが0になるのはどこか?

(解) v=dx/dt=6−2t より、 t=3−v/2 を x=2+6t−t2 に代入して、

   x=2+6(3−v/2)−(3−v/2)2=−v2/4+11 から、 v2=4(11−x)

  x=8 のとき、 v2=12 から、 v=±2(m/s)

  また、v=0 として、 x=11(m)

問題15 1秒間に2回転する円運動の加速度を求めよ。

(解) 題意より、角速度ω=4π なので、 x=10sin4πt

   よって、 dx/dt=4π・10cos4πt 、d2x/dt2=−16π2・10sin4πt

問題16(運動方程式)

 質量mの物体の下に質量m2の物体を軽い糸で吊るし、同時に加速度αでつり上げたと
きの糸の張力を求めよ。

(解) 質量mの物体をつり上げる張力をT1、質量m2の物体が質量mの物体を引っ張る

   張力をT2とすると、運動の方程式から、

     mα=T1−T2−mg 、 m2α=T2−m2

   辺々加えて、 (m+m2)α=T1−(m+m2)g より、 T1=(m+m2)(α+g)

   また、 T2=m2(α+g)

問題17(運動方程式)

 質量mの物体と質量m2の物体を軽い伸びない糸で結んでなめらかな釘にかける。
>m2のとき、mの方は下降し、m2の方は上昇する。このとき、加速度αと糸の張力T
を求めよ。

(解) 運動の方程式から、

     mα=mg−T 、 m2α=T−m2

  辺々加えて、 (m+m2)α=(m−m2)g より、 α=(m−m2)g/(m+m2

  また、 T=mg−mα=2m2g/(m+m2

問題18 鉛直線上の2定点に糸の両端を固定し、糸の中点におもりをつけて鉛直線の周
     りに回転させるtき、次第に回転を速くしてゆくと、糸の上半部と下半部の何れが早
     く切れるか?

(解) 慣性力をF、上半部、下半部の糸の張力をT1、T2、糸の鉛直線とのなす角をθとす

   ると、水平方向の釣り合いの関係から、 F=T1sinθ+T2sinθ

   鉛直方向の釣り合いの関係から、 T1cosθ=mg+T2cosθ

   T2を消去して、 Fcosθ−T1sinθcosθ=T1sinθcosθ−mgsinθ

   すなわち、 T1=(Fcosθ+mgsinθ)/(2sinθcosθ)

   T1を消去して、 Fcosθ=T2sinθcosθ+mgsinθ+T2sinθcosθ

   すなわち、 T2=(Fcosθ−mgsinθ)/(2sinθcosθ)

  このとき、0<θ<π/2 の範囲では、 T1>T2

   よって、上半部の方が早く切れる。

問題19 下図のような斜面に質量Mgの物体Aと質量mg(ただし、M>m)の物体Bが細い
      糸で結ばれ、さらに物体Bには端Xが固定された弦巻ばねの端Yが結ばれている。
      このばねは、1gwの力で引っ張るとkcm伸びる。このとき、次の問いに答えよ。

   


(1) 上図にあるような状態でつりあって静止しているとき、ばねの伸びはいくらか?
(2) 上図にあるような状態でつりあって静止しているとき、糸が突然切れた。このとき、物
  体Aと物体Bが斜面を滑り落ちる加速度をそれぞれ求めよ。
   ただし、重力加速度をgcm/s2とする。

(解)(1) ばねの伸びをx(cm)とすると、ばねの弾力は、 x/k(gw)

     よって、 Mgcos30°=mgcos60°+x/k

      これより、 x=kg(M−m)/2

(2) 物体A、Bの加速度をそれぞれ a、a’とおくと、

     Ma=Mgcos30°より、 a=g/2

     ma’=mgcos60°+x/k=mg/2+g(M−m)/2 より、a’=Mg/(2m)

問題20(力学的エネルギー保存の法則)

 質量mの物体を鉛直上方に投げ出したとき、速さと高さの間にはどんな関係があるか。

(解) 物体の初速度をV0、高さhにおける物体の速度をVとおくと、

     (1/2)mV02=(1/2)mV2+mgh より、 V02−V2=2gh

問題21(力学的エネルギー保存の法則)

 質量mのおもりを長さがLの糸で天井から吊るし、糸を鉛直線と60°傾けておく。おもりを
放して糸が鉛直になったとき、糸の中点がそこにある釘によって止められたので以後は長さ
がL/2の振り子と変わった。この振り子が鉛直線と60°傾いたとき、おもりの速さVはどれ
だけになるか。

    

(解) 天井よりLだけ下の点を高さの基準に選ぶと、

   0+mgL(1−cos60°)=(1/2)mV2+mg(L/2)(1−cos60°)

  よって、 V2=gL/2 より、 V=√(gL/2)

問題22(比熱)

 50℃のアルコール(比熱0.55)30gと60℃の水70gをビーカー(質量20g、比熱0.12
温度25℃)の中に入れたら、全体は何度になるか。

(解) アルコール30gは水に換算すると、30×0.55=16.5gに相当する。ビーカー20g

 は水に換算すると、20×0.12=2.4gに相当する。

 混ぜ合わせてT℃になるとして、水の得た熱量の総和は0であるので、

  70(T−60)+16.5(T−50)+2.4(T−25)=0

 よって、 88.9T=4200+825+60=5085 より、 T=57.1991

 すなわち、全体は、57.2℃になる。

問題23 60℃の水8kgに0℃の氷を2kg入れたところで、32℃になった。氷の融解熱を
      求めよ。

(解) 氷の融解熱をm(cal/g)とおくと、2000m+2000×32=8000(60−32)

   よって、 2000m=224000−64000=160000 より、 m=80

問題24 次の現象を説明せよ。

(1) 虹に色が見える
(2) 水面上の油の油膜に色が見える
(3) 朝日、夕日が赤く見え、晴天の空が青く見える
(4) 白色光の下で赤色ガラス板を通して見ると、白色の物体でも赤く見える

(解)(1) 分散 (2) 干渉 (3) 散乱 (4) ガラスの吸収

問題25(クーロンの法則)

 長さL(cm)、質量m(g)の2つのコルク振り子を同じ地点から吊り、コルクに等量の電荷q
を与えたところ、互いに反発して、糸の間の角が2αだけ開いて静止した。電荷はいかほど
か。

(解) 反発力をFとして、釣り合いから、 F=mgtanα

   クーロンの法則から、 F=q2/(2Lsinα)2

  よって、 q2/(2Lsinα)2=mgtanα から、 q=2Lsinα√(mgtanα)

問題26 100Vの電源で1Aの電流が流れるタングステン電球のタングステン線の抵抗は、
      20℃ではいくらか。電灯が点火しているときのタングステンの温度を2700℃とし、
      タングステンの抵抗の温度係数を53×10-4として計算せよ。

(解) 2700℃における抵抗は、100Ωなので、求める抵抗をRとすると、

    100=R(1+53×10-4×(2700−20))=15.2R より、 R=6.6(Ω)

問題27 3つの抵抗線を図のように連結したとき、AB間の抵抗はどれほどか。また、A、B
     の電位をそれぞれV、Vとすれば、Cの電位Vはいくらか。

    

(解) BC間の抵抗をRとすると、 1/R=1/2+1/2=1 より、 R=1

   よって、AB間の抵抗は、 3+1=4(Ω)

  このとき流れている電流 I は、 I ×4=V−V

  よって、 V−V= I ×3=(V−V)×(3/4) より、

   V=V−(V−V)×(3/4)=(V+3V)/4


(コメント) 当然ながら、これは内分の公式からも求められますね。

問題28 下図の回路で、Eは起電力1.5V、内部抵抗3Ωの電池、Rは7Ωの抵抗線、C
     はともに容量2μFのコンデンサーである。AB間、およびAP間の電圧を求めよ。

   

(解) AB間を流れる電流 I は、 I=1.5/(3+7)=0.15(A)

  よって、 AB間の電圧は、 0.15×7=1.05(V)

 また、コンデンサーの容量が等しいので、AP間の電圧は、 1.05÷2=0.53(V)

問題29(キルヒホッフの法則)

 下図の回路で、E1=4V、R1=8Ω、E2=2Vとして、R2をいくらにすればABを流れる電
流が0となるか。

  

(解) 上図で、電流 i は、E11BE22AE1を一巡する。

 回路E11BAE1について、ABを流れる電流は0なので、 i・R1=E1

 回路E22ABAE2について、ABを流れる電流は0なので、 i・R2=E2

 よって、 R2=R1・E2/E1=8・(2/4)=4(Ω)



  以下、工事中!