中学入試問題に挑戦！（その２） 
令和６年度灘中学の入試は、１月１３日・１４日の両日行われた。１日目・２日目と２日間
行われ、算数に強い小学生を集めたいという学校の思惑が十分くみ取れる入試問題となっ
ている。いくつか面白い問題を、小学生になったつもりで解いてみた。
（１日目）
第２問 太郎君は１本の値段が□円のペンを５本買う予定でしたが、所持金が１２０円足り
ませんでした。代わりに、１本の値段が予定していたものより１００円安いペンを７本と６０
円の消しゴムを１個買ったところ、ちょうど所持金を使い切りました。□に当てはまる数は
何か。
（解） 題意より、 □×５－１２０＝（□－１００）×７＋６０ なので、
□×２＝７００－６０－１２０＝５２０ より、 □＝２６０ （終）
第３問 ある学校の生徒に、A、B、C の３つの町に行ったことがあるかどうかの調査をした
ところ、A、B、C に行ったことがある生徒の割合はそれぞれ全体の ２/７、５/１４、１/９ で
した。AとBの両方に行ったことがある生徒の割合は全体の１/４でした。また、Cに行った
ことがある生徒は全員、AにもBにも行ったことがありませんでした。A、B、C のどの町にも
行ったことがない生徒は９９９人以下でした。A、B、C のどの町にも行ったことがない生徒
の人数として考えられるもののうち最も多いものは□人です。□に当てはまる数は何か。
（解） □が最大になる場合、
Aの町のみに行ったことがある生徒の割合は、１/２８
Bの町のみに行ったことがある生徒の割合は、３/２８
A、Bの町の両方に行ったことがある生徒の割合は、７/２８
Cの町のみに行ったことがある生徒の割合は、１/９
より、A、B、C のどの町にも行ったことがない生徒の割合は、
１－（１１/２８＋１/９）＝１２５/２５２
これが９９９人以下となる最大値は、 （１２５/２５２）×（７×２５２）＝８７５（人） （終）
第４問 A町とB町を結ぶ道があります。この道を何台ものバスがA町からB町に向かう方向
に一定の速さで、一定の間隔で走っています。
太郎君が同じ道を、A町からB町に向かう方向に一定の速さで自転車で走ると、バスに２０
分ごとに追い越されました。太郎君がそのままの速さで走る方向のみを反対に変えると、バ
スに１０分ごとに出合いました。その後、太郎君が速さを時速６km上げたところ、バスに９分
ごとに出合いました。バスとその次のバスの間隔を求めよ。ただし、パスと自転車の長さは
考えないものとします。
（解） バスの速さを分速ｕ（ｍ）、自転車の速さをｖ（ｍ）とし、バスの間隔をＬ（ｍ）とおくと、
時速６km＝分速１００m なので、題意より、
（ｕ－ｖ）×２０＝Ｌ 、（ｕ＋ｖ）×１０＝Ｌ 、（ｕ＋ｖ＋１００）×９＝Ｌ
第１式と第２式より、 ｕ＝３ｖ なので、 ４０ｖ＝９（４ｖ＋１００） より、 ｖ＝２２５
よって、 Ｌ＝４０ｖ＝９０００（ｍ） から、バスの間隔は、 ９ｋｍ である。 （終）
（別解） バスの速さを分速ｕ（ｍ）、自転車の速さをｖ（ｍ）とし、バスの間隔をＬ（ｍ）とおくと、
時速６km＝分速１００m なので、題意より、
ｕ－ｖ ： ｕ＋ｖ ： ｕ＋ｖ＋１００＝Ｌ/２０ ： Ｌ/１０ ： Ｌ/９＝９ ： １８ ： ２０
このとき、比例定数を ｋ として、 ｕ＝（２７/２）ｋ 、ｖ＝（９/２）ｋ なので、
（２７/２）ｋ＋（９/２）ｋ＋１００＝２０ｋ を解いて、 ｋ＝５０
よって、バスの間隔は、 １８ｋ×１０＝９０００（ｍ） すなわち、 ９ｋｍ である。 （終）
（コメント） 連立方程式を立てれば簡単であるが、算数的にはどう解くのだろう？
DD++ さんからのコメントです。（令和６年３月４日付け）
第４問なんですが、これ、問題として出来が悪いように思います。
（あるいは、算数のセンスがある子を選りすぐるためにわざと？）
バスと逆方向に 90 分間走ることを考えます。元々の速さだと太郎くんは 90 分後の 9 台目
のバスの位置まで進み、変更後の速度の場合は 90 分後の 10 台目のバスの位置まで進み
ます。
つまり、太郎くんが 90 分で進んだ距離の差 6km/h * (90/60)h = 9km が、9 台目のバスと
10 台目のバスの間隔ですので、答えは 9km です。
……最初の追い抜かれる話はなんだったんでしょう？
（コメント） なるほど！DD++ さんのように考えれば、「バスに２０分ごとに追い越されました」
という条件は使わなくて済むんですね。しかも、連立方程式すら必要ないと．．．。
１０分で行けたところを、速さを分速１００ｍだけ増すと９分で行けると考えればいいという
ことで、
バスの間隔をＬ（ｍ）とすると、題意より、 Ｌ/９－Ｌ/１０＝１００ から、Ｌ＝９０００
すなわち、バスの間隔は、９ｋｍ である。
（コメント） 数学のセンスが問われるいい問題ですね！
新しい視座を与えていただいたDD++ さんに感謝します。
DD++ さんからのコメントです。（令和６年３月５日付け）
上記コメントの解答って、筋は通ってるんでしょうか？片方は 9 分で片方は 10 分だと、バ
スの進んだ距離が変わってくるんですが……。
（コメント） バスが１０分で到達した距離を速さを増した自転車が９分で到達したと考えたの
ですが．．．。速度は、相対速度 バスの速度＋自転車の速度 で計算しています。
DD++ さんからのコメントです。（令和６年３月６日付け）
１日考えて、やっと理解しました。
バス（と自転車）が１０分で到達した距離（の合計）を（バスと）速さを増した自転車が９分で
到達した（ので、それぞれの相対速度を表すことで方程式を立てた）
で、理解あってますか？
（コメント） 合っていると思います。それにしても、「バスに２０分ごとに追い越されました」と
いう条件を使わずに解けてしまうのは何なのでしょうね？
バスの速さを分速ｕ（ｍ）、自転車の速さをｖ（ｍ）とし、ｕ、ｖ を別個に求めるには、「バスに
２０分ごとに追い越されました」の条件が必要ですが、バスの間隔 Ｌ（ｍ）を求めるだけだっ
たら、相対速度 ｕ＋ｖ が分かれば十分で、このことは、もしかしたら灘中学の出題者の方も
気がつかなかったのかもしれないですね！（多分、想定内かな？）
第５問 次の問いに答えよ。
（１） ４枚のカード０、２、２、４ があるとき、この４枚のカードを並べてできる４桁の数のうち
１１で割り切れるものは全部で何個ありますか。ただし、「０２２４」は４桁の数ではありませ
ん。
（２） ５枚のカード０、２、２、４、６ があるとき、このうちの４枚のカードを並べてできる４桁の
数のうち１１で割り切れるものは全部で何個ありますか。ただし、６のカードを上下逆にして
９として用いることはできません。
（解）（１） ４枚のカードを並べてできる４桁の数は全部で、 ４！/２！－３！/２！＝９（通り）
実際に、
２０２４ 、２０４２ 、２２０４ 、２２４０ 、２４０２ 、２４２０ 、４０２２ 、４２０２ 、４２２０
このうち、１１で割り切れるものは、 ２０２４ 、２４２０ 、４２０２ の３通り
＃（１）だけだったら、虱潰しに調べるだけで解けるが、（２）を考えると、もう少し工夫が必要
である。
（別解） 「１１の倍数の判定」から、次の公式が知られている。
４桁の数 ＡＢＣＤ が１１の倍数となるためには、 Ａ－Ｂ＋Ｃ－Ｄ が１１の倍数であ
ることが必要十分である。
本問の場合、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ は、０、２、２、４ の何れかなので、Ａ－Ｂ＋Ｃ－Ｄ が、
±１１、±２２、・・・ となることはないので、 Ａ－Ｂ＋Ｃ－Ｄ＝０ 即ち、 Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｄ で
あることが、４桁の数 ＡＢＣＤ が１１の倍数となるための条件である。
２＋２＝４＋０ の組合せしかないので、求める４桁の整数は、
２４２０、２０２４、４２０２ の３通りである。
＃（２）は、５枚のカードを並べてできる５桁の数は、５！/２！－４！/２！＝４８（通り） しか
ないので、虱潰しに調べることも可能であるが、時間がかかりすぎるので、（１）の別解の
ように考えた方が得策だろう。
（２） 本問の場合、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ は、０、２、２、４、６ の何れかなので、Ａ－Ｂ＋Ｃ－Ｄ が、
±１１、±２２、・・・ となることはないので、 Ａ－Ｂ＋Ｃ－Ｄ＝０ 即ち、 Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｄ で
あることが、４桁の数 ＡＢＣＤ が１１の倍数となるための条件である。
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ が、６を含まない ０、２、２、４ で構成されるとき、４桁の数のうち、１１で割り
切れるものは、（１）から、３通りある。
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ が、６を含む４つの数で構成されるとき、４桁の数のうち、１１で割り切れるた
めには、 ６＋０＝４＋２ の組合せしかないので、求める４桁の整数は、
２０４６、２６４０、４０２６、４６２０、６２０４、６４０２ の６通りである。
以上から、求める場合の数は、 ３＋６＝９（通り） （終）
第６問 １、２、３、４、５、６、７、８ から異なる４つを選ぴ、大きい方から順にA、B、C、D とし
ました。また、選ばなかった残りの４つを並び替え、E、F、G、H としました。すると、４桁の
数ABCDから４桁の数DCBAを引いた差は４桁の数EFGHでした。４桁の数ABCDを求めよ。
（解） 題意より、
Ａ・１０００＋Ｂ・１００＋Ｃ・１０＋Ｄ－（Ｄ・１０００＋Ｃ・１００＋Ｂ・１０＋Ａ）
＝Ｅ・１０００＋Ｆ・１００＋Ｇ・１０＋Ｈ
すなわち、 Ａ・９９９＋Ｂ・９０－Ｃ・９０－Ｄ・９９９＝Ｅ・１０００＋Ｆ・１００＋Ｇ・１０＋Ｈ
よって、 Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ≡０ （ｍｏｄ ９） が成り立つ。
ここで、 Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＝１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＝８・９/２＝３６
すなわち、 Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ≡０ （ｍｏｄ ９） なので、
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ≡０ （ｍｏｄ ９） 、Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ≡０ （ｍｏｄ ９） が成り立つ。
よって、 Ａ＞Ｂ＞Ｃ＞Ｄ に注意して、起こり得る場合を考えると、
（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（８，７，２，１）、（８，６，３，１）、（８，５，４，１）、（８，５，３，２）、
（７，６，４，１）、（７，６，３，２）、（７，５，４，２）、（６，５，４，３）
これらについて、実際に計算してみて、
８７２１－１２７８＝７４４３（不適） 、８６３１－１３６８＝７２６３（不適） 、
８５４１－１４５８＝７０８３（不適） 、８５３２－２３５８＝６１７４（適） 、
７６４１－１４６７＝６１７４（不適） 、７６３２－２３６８＝５２６４（不適） 、
７５４２－２４５８＝５０８４（不適） 、６５４３－３４５８＝３０８５（不適）
以上から、求める４桁の数は、 ８５３２ （終）
第７問 下図のような、電池１個、電球１個、スイッチ①～⑦の７個を含む電気回路があり
ます。スイッチのオン・オフの仕方は全部で１２８通りあり、そのうち電球が点灯するような
スイッチのオン・オフの仕方は全部で何通りありますか。
（解） 電球が点灯しない場合を考える。以下で、スイッチがＯＮを「○」、ＯＦＦを「×」で表す。
⑥が×、⑦が×ならば、①～⑤は任意なので、起こり得る場合は、２5＝３２（通り）
⑥が○、⑦が×のとき、
①が×、④が×ならば、②、③、⑤は任意なので、起こり得る場合は、２3＝８（通り）
①が×、④が○ならば、②が×で、③または⑤が×なので、
起こり得る場合は、２2－１＝３（通り）
よって、起こり得る場合の数は、 ８＋３＝１１（通り）
⑥が×、⑦が○のとき、上と同様にして、 １１（通り）
⑥が○、⑦が○のとき、
①と③は×で、②が×ならば、④と⑤は任意なので、起こり得る場合は、２2＝４（通り）
①と③は×で、②が○ならば、④と⑤は×なので、起こり得る場合は、１通り
よって、起こり得る場合の数は、 ４＋１＝５（通り）
したがって、電球が点灯するようなスイッチのオン・オフの仕方は全部で
１２８－（３２＋１１×２＋５）＝６９（通り） （終）
第８問 下図のように、△ABC、△DEFがあり、点A、Dはそれぞれ辺EF、BC上にあります。
また、辺AB、DEは点Gで交わり、辺AC、DFは点Hで交わります。
AB＝DE、AC＝DF、AE＝AF で、CD＝３・BDです。また、BC∥EFです。
このとき、四角形AGDHの面積は△AHFの面積の何倍ですか。
（解） 点Ａより辺ＢＣに垂線ＡＰを下し、点Ｄより辺ＥＦに垂線ＤＱを下す。
このとき、△ＡＢＰ≡△ＤＥＱ なので、∠Ｂ＝∠Ｅ となる。同様にして、∠Ｃ＝∠Ｆ なので、
△ＡＢＣと△ＤＥＦにおいて、 ＡＢ＝ＤＥ 、ＡＣ＝ＤＦ 、∠ＢＡＣ＝∠ＥＤＦ なので、
２辺と夾角相等により、 △ＡＢＣ≡△ＤＥＦ であることが分かる。
このとき、 ＢＣ＝ＥＦ であるので、ＢＤ＝１ とすると、ＤＣ＝３で、ＡＥ＝ＡＦ＝２ となる。
△ＡＨＦ＝Ｓ とおくと、ＦＨ ： ＨＤ＝２ ： ３ なので、 △ＡＤＨ＝（３/２）Ｓ
また、△ＡＤＥ＝△ＡＤＦ＝（５/２）Ｓ で、ＥＧ ： ＧＤ＝２ ： １ なので、 △ＡＤＧ＝（５/６）Ｓ
よって、四角形AGDHの面積＝（３/２）Ｓ＋（５/６）Ｓ＝（７/３）Ｓ となり、
四角形AGDHの面積は△AHFの面積の７/３倍である。 （終）
第９問 １辺の長さが８cmである２つの正方形ABCD、PQRSがあります。左下図には、点B
を中心とし点Dを通る半円と、点Cを中心とし点Aを通る半円がかかれています。右下図の
ように正方形PQRSが①の位置から②の位置まで直線アの上をすべることなく転がるとき
に辺PQが通過する黄色部分の面積と、左下図の黄色部分の面積の和を求めよ。
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（解） ２つの図形を一つにまとめ、面積の等しい部分を入れかえると、求める面積の和は
下図の黄色部分の面積となる。
よって、
｛（１/４）π（８
）2－（１/４）・６４π｝×２＋（１/８）π（８）2×２
＝３２π＋３２π＝６４π
π＝３．１４ として、 ６４π＝２００．９６（ｃｍ2） （終）
第１０問 下図の五角形ABCDEは正五角形で、四角形 CDFG、ADHＩ はどちらも正方形で
す。このとき、角θの大きさを求めよ。
（解） 下図のように補助線を引く。
正五角形の内角の大きさは、 １８０°×３÷５＝１０８°なので、 ∠ＣＡＤ＝３６°
△ＣＡＤ、△ＦＨＤは２等辺三角形で、△ＣＡＤ≡△ＦＨＤより、 ∠ＦＨＤ＝３６°
よって、 ∠ＦＨＩ＝５４°となる。
△ＦＨＩ はＦＨ＝ＨＩ の２等辺三角形なので、 ∠ＨＩＦ＝６３° である。
よって、 ∠ＡＩＦ＝２７° となる。
ところで、 ∠ＩＡＥ＝９０°－３６°＝５４° なので、
θ＝１８０°－（２７°＋５４°）＝９９° （終）
第１１問 下図の直方体ABCD-EFGHについて、辺AD、AE、EFの長さはそれぞれ １cm、
２cm、１cm です。また、点 I は辺CDの真ん中の点です。３点A、F、Ｉ を通る平面で、こ
の直方体を切り分けたとき、点Cを含む方の立体の体積は、他方の立体の体積の何
倍ですか。
（解） ｘｙｚ空間に図形を埋め込むと、
３点Ａ（１，０，２）、Ｆ（１，１，０）、Ｉ（０，１/２，２）を通る平面の方程式を
ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０ （ａ、ｂ、ｃの何れかは０でない）
とおくと、 ａ＋２ｃ＋ｄ＝０ 、ａ＋ｂ＋ｄ＝０ 、（１/２）ｂ＋２ｃ＋ｄ＝０
これより、 ｂ－２ｃ＝０ すなわち、 ｂ＝２ｃ で、 ３ｃ＋ｄ＝０ より、 ｃ＝－（１/３）ｄ
よって、 ｂ＝－（２/３）ｄ となり、 ａ＝－（１/３）ｄ
このとき、－（１/３）ｄｘ－（２/３）ｄｙ－（１/３）ｄｚ＋ｄ＝０ となり、両辺を－（１/３）ｄ で割って
ｘ＋２ｙ＋ｚ－３＝０
この平面は、各軸と、（３，０，０）、（０，３/２，０）、（０，０，３） で交わる。
この３点と点Ｈで作られる三角錐の体積は、 ３・（３/２）・（１/２）・３・（１/３）＝９/４
この体積から、黄色部分の３つの三角錐の体積を差し引けば、点Cを含まない方の立体の
体積が求められる。すなわち、ｘ＝０、ｙ＝１ のとき、ｚ＝１ に注意して、
９/４－２・１・（１/２）・２・（１/３）－１・（１/２）・（１/２）・１・（１/３）－１・（１/２）・（１/２）・１・（１/３）
＝９/４－２/３－１/１２－１/１２＝１７/１２
ここで、直方体の体積は、 １・１・２＝２ なので、点Cを含む方の立体の体積は、
２－（１７/１２）＝７/１２
以上から、点Cを含む方の立体の体積は、他方の立体の体積の
（７/１２）÷（１７/１２）＝７/１７（倍） である。 （終）
（コメント） 立体を、平面 ｚ＝１ で切断すると、算数的な解法ができそうである。
（別解）
１辺が１の立方体が縦に２個積まれていると考える。この立体を、３点A、F、Ｉ を通る平面
でせつだんするとき、上の段の立方体は、同体積２個の立体に分割され、下の段の立方体
は、三角錐と他の立体に分割される。
よって、点Cを含む方の立体の体積は、
１/２＋（１/２）・１・（１/２）・１・（１/３）＝１/２＋１/１２＝７/１２
直方体の体積は、 １・１・２＝２ なので、点Cを含まない方の立体の体積は、
２－７/１２＝１７/１２
よって、点Cを含む方の立体の体積は、他方の立体の体積の
（７/１２）÷（１７/１２）＝７/１７（倍） である。 （終）
第１２問 ある立体の展開図は下図のようになっています。この立体の体積を求めよ。
ただし、同じ記号がかかれた辺の長さは等しいとします。
（解） 展開図をもとにもとの立体を復元すると、
正六角形が立方体の各辺の中点を結んで得られることから
求める体積は、 ３×３×３÷２＝１３．５ （終）
（２日目）
第１問 １０以上の整数に対して、各位の数をかけ合わせる操作１回を記号→により表しま
す。この操作を繰り返し、１０より小さくなると終了します。
（１） ２桁の整数Aで、A→０ となるものは全部で何個あるか。３桁の整数Bで、B→０ となる
ものは全部で何個あるか。
（２） ３桁の整数Cで、C→D→２ となるものを考えます。ただし、Dは整数です。
(ア) このような整数Ｃのうち、最も小さいものと最も大きいものを求めよ。
(イ) このような整数Ｃは全部で何個ありますか。
（解）（１） ２桁の整数Aで、A→０ となるものは、「*０」のタイプで、*＝１～９ の９通り
３桁の整数Bで、B→０ となるものは、「*００～*０９」のタイプで、*＝１～９ の９０通り
または、「*１０～*９０」のタイプで、*＝１～９ の８１通り で、計９０＋８１＝１７１（通り）
（２）（ア） Ｄの可能性は、
１２ 、２１ 、１１２ 、１２１ 、２１１ 、１１１２ 、１１２１ 、１２１１ 、２１１１ 、・・・
であるが、１１１２＝２・２・２・１３９ 、１１２１＝１９・５９ 、１２１１＝７・１７３ 、２１１１（素数）
なので、Ｃが３桁の整数ということから、起こりえない。
１１２＝２・２・２・２・７＝２・８・７＝４・４・７ より、
２７８、２８７、７２８、７８２、８２７、８７２、４４７、４７４、７４４
１２１＝１１・１１ より、該当するＣは存在しない。
２１１（素数） より、該当するＣは存在しない。
１２＝２・２・３＝１・２・６＝１・３・４ より、
１２６、１６２、２１６、２６２、６１２、６２１、２２３、２３２、３２２、１３４、１４３、３１４、３４１、
４１３、４３１
２１＝１・３・７ より、 １３７、１７３、３１７、３７１、７１３、７３１
以上から、該当する整数Ｃで最も小さいものは、１２６ で、最も大きいものは、８７２
（イ） （ア）の計算から、整数Ｃの起こり得る可能性は、
２７８、２８７、７２８、７８２、８２７、８７２、４４７、４７４、７４４、１２６、１６２、２１６、２６２、
６１２、６２１、２２３、２３２、３２２、１３４、１４３、３１４、３４１、４１３、４３１、１３７、１７３、
３１７、３７１、７１３、７３１
以上の ３０通りある。 （終）
第２問 製品Pは、１日につき、工場Aで２０００個、工場Bで３０００個生産されます。工場A
で生産された製品Pから１０００個取り出して検査すると７個不良品が見つかります。また、
工場Bで生産された製品Pから１０００個取り出して検査すると１２個不良品が見つかりま
す。工場Aと工場Bで生産された製品Pはすべて検査場に入荷され、検査の前によく混ぜ
られます。
たとえば、工場Aで生産された製品Pが３０００個あったとき、その中の不良品の個数は
３０００×（７/１０００）＝２１（個）と推測されます。実際には、２１個より多いことも少ないこ
ともあり得ますが、このように推測します。この例にならって、次の問いに答えなさい。
（１） ある期間、工場A、工場Bはどちらも休まず稼働しました。その期間に検査場に入荷
された製品Pから不良品が１０００個見つかったとき、その１０００個の不良品のうち工場A
で生産された不良品の個数を推測せよ。
（２） ある年の４月、工場Aは休まず稼働しましたが、工場Bは何日か休業となりました。そ
の１ケ月に検査場に入荷された製品Pから１００００個取り出して検査したとごろ、不良品
が８０個見つかりました。その８０個の不良品のうち工場Aで生産された不良品の個数は
何個と推測されますか。
（解）（１） 工場Aで２０００個、工場Bで３０００個生産すると、不良品の個数は、
２０００×（７/１０００）＋３０００×（１２/１０００）＝１４＋３６＝５０（個）
不良品の個数が１０００個なので、その１０００個の不良品のうち工場Aで生産された不良
品の個数は、 １０００×（１４/５０）＝２８０（個）
（２） １００００個のうち、工場Aで生産された製品Pの個数を ｘ 個とすると、題意より、
ｘ・（７/１０００）＋（１００００－ ｘ ）・（１２/１０００）＝８０
これより、 ７ｘ＋１２００００－１２ｘ＝８００００ なので、 ５ｘ＝４００００ より、 ｘ＝８０００
よって、８０個の不良品のうち工場Aで生産された不良品の個数は、
８０００×（７/１０００）＝５６（個） （終）
第３問 （１） 下図の正方形ABCDにおいて、△AEFの面積を求めよ。また、４つの面がそ
れぞれ△ＡＢＥ、△ＥＣＦ、△ＦＤＡ、△ＡＥＦと合同な三角錐の体積を求めよ。
（２） 下図のような、１辺の長さが２０cmの立方体 GHIJ-KLMN があります。点PはGPの長
さが１０cmとなる辺GJ上の点、点QはGQの長さが１５cm となる辺GH上の点、点RはKRの
長さが３cmとなる辺KL上の点です。
(ア) ３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面と辺KNが交わる点をSとします。このとき、KSの長さを求めよ。
また、３点P、Q、Rを通る平面で立方体GHIJ-KLMNを２つの立体に切り分けたとき、Gを含
む方の立体の体積を求めよ。
(イ) ４点G、P、Q、Rを頂点とする三角錐の、△PQRを底面とみたときの高さを求めよ。
(ウ) ４点M、P、Q、Rを頂点とする三角錐の、△PQRを底面とみたときの高さを求めよ。
（解）（１） △ＡＥＦ
＝２５－３・５・（１/２）－２・３・（１/２）－２・５・（１/２）＝２５－３１/２＝１９/２（ｃｍ2）
求める三角錐は、
なので、体積は、 ５×３×（１/２）×２×（１/３）＝５（ｃｍ3）
（２）（ア） ＰＱ∥ＳＲ なので、 ＫＳ/３＝１０/１５＝２/３ より、 ＫＳ＝２（ｃｍ）
△ＧＰＱを底面とする三角錐の高さｈは、 （ｈ－２０） ： ３＝ｈ ： １５ より、ｈ＝２５
よって、求める体積は、
１０・１５・（１/２）・２５・（１/３）－２・３・（１/２）・５・（１/３）＝６２０（ｃｍ3）
（イ） （ア）より、ＧＫの延長上に、ＧＴ＝２５ となる点Ｔをとる。
赤線の三角錐は、（１）で考えた三角錐で、 △ＴＳＲ＝１９/２ である。
△ＴＳＲ∽△ＴＰＱ で相似比が １ ： ５ であることから、 △ＴＰＱ＝（１９/２）×２５＝４７５/２
求める高さを ｈ とおくと、三角錐Ｔ-ＧＰＱの体積に着目して、
（４７５/２）×ｈ×（１/３）＝１０・１５・（１/２）・２５・（１/３） より、
ｈ＝１０・１５・２５/４７５＝１５０/１９（ｃｍ）
（コメント） 当初、次のように計算した。
Ｇ（０，０，０）、Ｐ（１０，０，０）、Ｑ（０，１５，０）、Ｒ（０，３，２０）として、
３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面の方程式は、 （１/２）ｘ＋（１/３）ｙ＋（１/５）ｚ－５＝０ となるので、
Ｇ（０，０，０）と平面の距離は、 ５/√｛（１/２）2＋（１/３）2＋（１/５）2｝＝１５０/１９
＃誘導を無視してはいけないですね．．．。
（ウ） （１）と同様にして、
△ＭＳＲ＝４００－１８・２０・（１/２）－１７・２０・（１/２）－２・３・（１/２）＝４７
なので、求める高さを ｈ とおくと、三角錐Ｔ-ＳＲＭの体積に着目して、
（１９/２）×ｈ×（１/３）＝４７×５×（１/３） より、 ｈ＝４７０/１９ （終）
第４問 （１） 下図のような長方形ABCDがあり、辺BC上に点E、辺CD上に点Fがあります。
△ＡＥＦが直角二等平三角形であるとき、△AEFの面積を求めよ。
（２） １辺の長さが１２cmである正方形GHIJがあります。下図のように、辺HI の延長上に
点Kがあり、GKとIＪが点 Lで交わっています。また、半後が３cmである半円が△GJLに
ぴったり収まっています。このとき、△GHKにぴったり収まる円の半径と辺HKの長さを求
めよ。
（解）（１） 題意より、△ＡＥＦは、∠ＡＥＦ＝９０°、ＡＥ＝ＦＥ の直角２等辺三角形である。
よって、△ＡＢＥ≡△ＥＣＦ より、ＣＥ＝４、ＥＢ＝１ となる。
このとき、 ＡＥ2＝４2＋１2＝１７ なので、 △ＡＥＦ＝ＡＥ2・（１/２）＝１７/２
（別解） ＦＣ＝１、ＤＦ＝３ なので、
△ＡＥＦ＝２０－１５/２－２×２＝１７/２
（２） 円外の１点から円に引いた接線の長さは等しく、その点と円の中心を結ぶ線分は、２接
線のなす角を２等分する。
よって、∠ＯＧＯ’＝４５°が分かる。また、∠ＧＯＰ＝９０°なので、△ＧＯＯ’は、長方形
ＧＲＲ’Ｊ内の直角２等辺三角形となる。（１）と同様に考えて、
ＲＯ＋Ｒ’Ｏ＝１２、ＧＲ＝Ｒ’Ｏ、ＲＯ＝Ｒ’Ｏ’、ＧＲ＝Ｒ’Ｏ’＋３ より、
Ｒ’Ｏ＝ＧＲ＝Ｒ’Ｏ’＋３＝ＲＯ＋３ なので、 ２ＲＯ＋３＝１２ より、 ＲＯ＝９/２
以上から、△GHKにぴったり収まる円の半径は、９/２（ｃｍ）である。
このとき、△ＫＯＪ’∽△ＧＯ’Ｊ より、ＫＪ’ ： ＯＪ’＝ＧＪ ： Ｏ’Ｊ すなわち、
ＫＪ’ ： ９/２＝１２ ： ３＝４ ： １ より、 ＫＪ’＝１８
以上から、 ＨＫ＝１８＋９/２＝４５/２（ｃｍ） （終）
（コメント） （１）のヒントの出し方が心憎いですね！（２）に直接効いてきます。
第５問 下図のような的があり、Aから I の９つの場所に、１、２、３、４、５、６、７、８、９ の
９つの数が１つずつ書かれています。また、同じ数は２つ以上の場所に書かれることはあ
りません。
（１） 太郎さんがポールを３つ投げると、A、E、Ｉ に当たり、当たった場所に書かれた数の和
は１０になりました。次郎さんもポールを３つ投げると、C、E、G に当たり、当たった場所に
書かれた数の和は１０になりました。
(ア) Eに書かれた数が５であるとき、的に書かれた９つの数の並びは全部で何通りありますか。
(イ) 的に書かれた９つの数の並ぴは、(ア)の場合を含めて全部で何通りありますか。
（２） 太郎さんがボールを３つ投げると、的のどの縦列にも１回ずつ、どの横列にも１回ずつ
当たり、当たった場所に書かれた数の和は１０になりました。次郎さんもポールを３つ投げ
ると、的のどの縦列にも１回ずつ、どの横列にも１回ずつ当たり、当たった場所に書かれた
数の和は１０になりました。また、太郎さんが当てて次郎さんが当てなかった場所がありまし
た。このとき、的に書かれた９つの数の並ぴは、（１）の場合を含めて全部で何通りあります
か。
（解）（１）（ア） Ｅ＝５ より、Ａ＋Ｉ＝５ となる（Ａ，Ｉ）の組は、
（１，４）、（２，３）、（３，２）、（４，１） の４通りで、そのうちの１通り、
例えば、（Ａ，Ｉ）＝（１，４）に対して、（Ｃ，Ｇ）＝（２，３）、（３，２） の２通りで、そのうちの１通り、
例えば、（Ｃ，Ｇ）＝（２，３）に対して、残りのＢ、Ｄ、Ｆ、Ｈに、５、６、７、８ を割り振ればよい。
よって、求める場合の数は、 ４×２×４！＝１９２（通り）
（イ） Ｅ＝１ のとき、Ａ＋Ｉ＝９ となる（Ａ，Ｉ）の組は、
（２，７）、（３，６）、（４，５）、（５，４）、（６，３）、（７，２） の６通りで、そのうちの１通り、
例えば、（Ａ，Ｉ）＝（２，７）に対して、（Ｃ，Ｇ）＝（３，６）、（４，５）、（５，４）、（６，３） の４通り
で、そのうちの１通り、例えば、（Ｃ，Ｇ）＝（３，６）に対して、残りのＢ、Ｄ、Ｆ、Ｈに、４、５、８、９
を割り振ればよい。そのときの場合の数は、 ６×４×４！＝５７６（通り）
Ｅ＝２ のとき、Ａ＋Ｉ＝８ となる（Ａ，Ｉ）の組は、
（１，７）、（３，５）、（５，３）、（７，１） の４通りで、そのうちの１通り、
例えば、（Ａ，Ｉ）＝（１，７）に対して、（Ｃ，Ｇ）＝（３，５）、（５，３） の２通り
で、そのうちの１通り、例えば、（Ｃ，Ｇ）＝（３，５）に対して、残りのＢ、Ｄ、Ｆ、Ｈに、４、６、８、９
を割り振ればよい。そのときの場合の数は、 ４×２×４！＝１９２（通り）
Ｅ＝３ のとき、Ａ＋Ｉ＝７ となる（Ａ，Ｉ）の組は、
（１，６）、（２，５）、（５，２）、（６，１） の４通りで、そのうちの１通り、
例えば、（Ａ，Ｉ）＝（１，６）に対して、（Ｃ，Ｇ）＝（２，５）、（５，２） の２通り
で、そのうちの１通り、例えば、（Ｃ，Ｇ）＝（２，５）に対して、残りのＢ、Ｄ、Ｆ、Ｈに、４、７、８、９
を割り振ればよい。そのときの場合の数は、 ４×２×４！＝１９２（通り）
Ｅ＝４ のとき、Ａ＋Ｉ＝６ となる（Ａ，Ｉ）の組は、
（１，５）、（５，１） の２通りで、（Ｃ，Ｇ）に当てはまるものがないので、この場合は起こらない。
Ｅ＝５ のとき、（ア）から、場合の数は、 １９２通り
Ｅ＝６ のとき、Ａ＋Ｉ＝４ となる（Ａ，Ｉ）の組は、
（１，３）、（３，１） の２通りで、（Ｃ，Ｇ）に当てはまるものがないので、この場合は起こらない。
Ｅ＝７ のとき、Ａ＋Ｉ＝３ となる（Ａ，Ｉ）の組は、
（１，２）、（２，１） の２通りで、（Ｃ，Ｇ）に当てはまるものがないので、この場合は起こらない。
Ｅ＝８ のとき、Ａ＋Ｉ＝２ となる（Ａ，Ｉ）の組は存在しないので、この場合は起こらない。
Ｅ＝９ のとき、Ａ＋Ｉ＝１ となる（Ａ，Ｉ）の組は存在しないので、この場合は起こらない。
以上から、求める場合の数は、 ５７６＋１９２×３＝１１５２（通り）
（２） ３つの数の和が１０になる場合は、（１，２，７）、（１，３，６）、（１，４，５）、（２，３，５）
これらは、互いに１つの数を共有しているので、「太郎さんが当てて次郎さんが当てなかった
場所がありました」とのことから、（１）のように、太郎さんと次郎さんが両方当てたところが
１ヶ所あって、残りはバラバラに当たったということである。すると、４つのフリースペースが
出来るので、求め方は（１）と全く同様である。
太郎さんと次郎さんが両方当てたところの場合は９通りで、そのうちの１通りに対して、
的に書かれた９つの数の並びは全部で１１５２通りあることから、求める場合の数は、
９×１１５２＝１０３６８（通り） （終）
以下、工事中！