誤差について 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　戻る

　ある一つの問題を解こうとするとき、ある特別な場合を除いて、誤差は必ず起こり得る。
なぜなら、数値計算では、筆算にしろ電卓を使うにしろ、無限の桁数を持つ数値は扱えない
からである。

　数学では、理論値で数値計算するので、平方根や対数などのいろいろな記号を駆使して、
きっちり計算結果を示すことが可能であるが、他の実験科学（物理、化学、生物、・・・）では、
実験値でデータを処理するので、誤差との同居は宿命である。

　 どんなに正しい計算をする人でも、どんなに優秀なコンピュータでも、このことは避けるこ
とのできないことである。

例　数学では、通常、分数表記　たとえば、 　を用いるが、実験値としては、小数表記
　　0.6　を用いるのが常識となっている。0.60、0.600、0.6000、・・・　などによって、その数
　　の有効桁数を示し、その数値の精度を表すことになっている。

　具体的な問題を、数学の問題として記述するとき、不正確なデータや仮定が入る場合が
ある。
　このとき、いくら正確に計算を行っても、計算結果は意味のないものになってしまう。

　問題の記述の段階で生ずる誤差を、入力誤差（観測誤差）という。

　数学的に問題を解析するとき、条件の簡素化を行うことが多い。摩擦力や空気抵抗を無
視したり、球面なのに平面と考えたり、無限回の操作が必要なのに有限回で打ち切ったり
する。
　誤差を意識する場合、これらの簡素化は注意深くやらなければならない。

　問題を解析し、数値計算の問題へ直すときに生ずる誤差を、解析誤差という。

　プログラムを組んでコンピュータで計算を行う段階になっても誤差は起こり得る。

　桁数の長い数を決められた桁数の数で近似する操作を、「丸め」という。計算には、その
ために生ずる誤差、丸め誤差がつきものであり、決定的な段階での丸め誤差が、結果に
大きく影響する場合がある。

　このように非常に多くの誤差が存在し、計算結果に及ぼす影響は計り知れない。その呪
縛から逃れることは、とても難しくかつ困難である。

　そこで、誤差の影響を最小限に抑えるように、問題に対処することが重要になってくる。

　誤差は、　（測定値）－（真の値）　で求められる。

　但し、真の値は、絶対に知ることが不可能な値なので、個々の測定値に対する誤差も絶
対に知ることができない値である。

　従って、単に誤差という場合は、最大誤差を指す場合が多い。

　問題を解く段階で与えられた数値が、正確な値なのか、誤差を含む値なのか判断に迷う
場合がある。その場合は、有効数字に注意して計算することになる。

<<結果の有効数字の決め方>>

（１）答の有効数字の桁数が指定されているとき

　１桁多く算出し、四捨五入によって、所要の桁数とする

（２）答の有効数字の桁数が指定されていないとき

　（イ）問題中の有効数字の桁数がそろっているとき

　　問題中の有効数字の桁数にあわせる

　（ロ）問題中の有効数字の桁数がそろっていないとき

　　最も小さい有効数字の桁数にあわせる
　（例　３８．７４÷６．９＝５．６１４４９　→５．６）

　（ハ）問題中の有効数字の桁数が明示されていないとき

　　規則：問題中の数の桁数とほぼ等しくとる
　　　（例：３．２７×２．５９＝８．４６９３　→８．４７）
　　規則：ｎ乗およびｎ乗根は、元の数の桁数とほぼ等しくとる
　　　（例：０．８７６の３乗＝０．６７２２２・・・　→０．６７２
　　　　　３乗根０．８７６＝０．９５６８２・・・　→０．９５７）
　　規則：いろいろな桁数の数が混在しているときは、中間の桁数をとる
　　　（例：４．７２６×５．８＝２７．４１０８・・・　→２７．４（４桁、２桁→３桁）
　　　　　５．４３×２．５８２＝２．１０３０２・・・　→２．１０（３桁、４桁→３桁））

<<途中計算の有効数字の決め方>>

　問題中の数の桁数、答に要求されている桁数より１桁程度多くとる
　　　（例：　５．３８×６．７４×４．１２×４．３７
　　　　　　　３６．２６１２
　　　　＝３６．２６×４．１２×４．３７
　　　　　１４９．３９１２
　　　　＝１４９．４×４．３７
　　　　＝６５２．８７８＝６５３
　　そのまま計算すると、６５２．８６１１３１８で、やはり６５３）

<<加算・減算の結果の有効数字の決め方>>

　最も最大誤差の大きい数と末位を一致させる
　　　（例：　７３６．３７＋９１．４６８＋１２６５．５＋８．７３６３＝２１０２．０７４３　→２１０２．１）
　各数を所要の桁より１位低くとり計算してもよい
　　　（例：　７３６．３７＋９１．４６８＋１２６５．５＋８．７３６３
　　　　　＝７３６．３７＋９１．４７＋１２６５．５＋８．７４＝２１０２．０８　→２１０２．１）

<<浮動小数点表示された数の四則演算>>

　　Ｎ＝±ａ×１０n　　（ａ：仮数部で、０≦ａ≦１、ｎ：指数部）

の形の数値計算は、次のような手順で行う。

（１）　乗除算の場合
　（ⅰ）　符号を決める
　（ⅱ）　仮数部の乗除算を行う（２倍の桁数まで計算する）
　（ⅲ）　指数部の加減算を行う
　（ⅳ）　正規化（小数第一位の数を０以外の数にすること）と丸めを行う

例　（０．１３５７×１０3）×（０．２４６８×１０2）
　＝（０．１３５７×０．２４６８）×１０5
　＝０．０３３４９０７６×１０5
　＝０．３３４９×１０4

（２）　加減算の場合
　（ⅰ）　指数部を大きい方に合わせる
　（ⅱ）　仮数部の加減算を行う（桁数を数桁多く計算する）
　（ⅲ）　正規化（小数第一位の数を０以外の数にすること）と丸めを行う

例　（０．１３５７×１０3）＋（０．２４６８×１０2）
　＝（０．１３５７×１０3）＋（０．０２４６８×１０3）
　＝（０．１３５７＋０．０２４６８）×１０3
　＝０．１６０３８×１０3
　＝０．１６０４×１０3


　加減算において、注意しなければならない場合がある。

　ほぼ等しい数の減算の場合には、有効数字の喪失（これを、桁落ちという）という現象が
起きる。この場合は、所要の桁数より３～４桁多くとって計算する。

例　（０．１３５７×１０3）－（０．１３５５×１０3）＝０．０００２×１０3＝０．２

　上記の計算では、有効数字４桁の数が有効数字１桁の数に桁落ちしている。これを、３桁
の桁落ちという。

　一般に、ｐ桁の桁落ちがあると、その相対誤差は、１０p 倍にもなるという。

　同様のことが平方根の計算でも起こり得る。

　例えば、十分小さいＸに対して、 の値を求める場合である。

　　Ｘ＝０．１３５７×１０-2 に対して、１＋Ｘ＝１．００１４　より、 ＝０．７×１０-3 位
と計算で求められるが、桁落ちにより、多くの誤差を含んでしまっている。

　桁落ちを防ぐ方法としては、分子の有理化という方法がよく知られている。

実際に、



　どちらがより真の値に近いかというと、

≒ ０．０００６７８３＝０．６７８３×１０-3 　ということから明らかであろう。

　２次方程式の解を、解の公式を用いて数値計算する場合、上と同様なことが起こり得る。
（ａＸ2＋ｂＸ＋ｃ＝０　において、４ｃ に比べて、ｂ2 が十分大きい場合）

その場合は迷わず分子の有理化を実行して、桁落ちによる相対誤差の増加を防げばよい。

　また、次のように、問題の出題者が注意しなければならない場合もある。

例　＝３．１６　のとき、

　

の値を求めよ。

　通常は、分母を有理化して、

　

と計算してくれるものと出題者は期待するが、次のように計算する人もいないわけではない。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　私だったら、この解答も正解とするが、一般的には、どうなんだろうか？

<<掛け算の回数>>

　　数値計算をするとき、できるだけ掛け算の回数は減らした方がよい。

　Ａ10 を計算するとき、Ａ，Ａ2，Ａ3，・・・と順次計算していくのは、堅実であるが、非能率で
ある。実は、Ａ10 は、４回の掛け算で求めることが出来る。

　（（Ａ2）2×Ａ）2

と分解すればよい。

　同様にして、Ａ100000　の掛け算の回数は、２０回で済むし、Ａ488　は、１１回の掛け算で
済む。何故かは、皆さんの課題としたい。

（参考文献：D.G.Moursund C.S.Duris
　　　　　　Elementary Theory and Application of Numerical Analysis（McGraw-Hill)
　　　　野崎昭広　数値解析について（昭和５７年度神奈川県数学講座）
　　　　力武常次・北村良夫・清水光治　物理Ⅰ・Ⅱ（数研出版）
　　　　名取　亮　著　線形計算（朝倉書店））