誤差について 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　ある一つの問題を解こうとするとき、ある特別な場合を除いて、誤差は必ず起こり得る。
なぜなら、数値計算では、筆算にしろ電卓を使うにしろ、無限の桁数を持つ数値は扱えない
からである。

　数学では、理論値で数値計算するので、平方根や対数などのいろいろな記号を駆使して、
きっちり計算結果を示すことが可能であるが、他の実験科学（物理、化学、生物、・・・）では、
実験値でデータを処理するので、誤差との同居は宿命である。

　 どんなに正しい計算をする人でも、どんなに優秀なコンピュータでも、このことは避けるこ
とのできないことである。

例　数学では、通常、分数表記　たとえば、		を用いるが、実験値としては、小数表記
0.6　を用いるのが常識となっている。0.60、0.600、0.6000、・・・　などによって、その数
の有効桁数を示し、その数値の精度を表すことになっている。

　具体的な問題を、数学の問題として記述するとき、不正確なデータや仮定が入る場合が
ある。
　このとき、いくら正確に計算を行っても、計算結果は意味のないものになってしまう。

　問題の記述の段階で生ずる誤差を、入力誤差（観測誤差）という。

　数学的に問題を解析するとき、条件の簡素化を行うことが多い。摩擦力や空気抵抗を無
視したり、球面なのに平面と考えたり、無限回の操作が必要なのに有限回で打ち切ったり
する。
　誤差を意識する場合、これらの簡素化は注意深くやらなければならない。

　問題を解析し、数値計算の問題へ直すときに生ずる誤差を、解析誤差という。

　プログラムを組んでコンピュータで計算を行う段階になっても誤差は起こり得る。

　桁数の長い数を決められた桁数の数で近似する操作を、「丸め」という。計算には、その
ために生ずる誤差、丸め誤差がつきものであり、決定的な段階での丸め誤差が、結果に
大きく影響する場合がある。

　このように非常に多くの誤差が存在し、計算結果に及ぼす影響は計り知れない。その呪
縛から逃れることは、とても難しくかつ困難である。

　そこで、誤差の影響を最小限に抑えるように、問題に対処することが重要になってくる。

　誤差は、
　　　　　　　　　（測定値）−（真の値）
で求められる。
　但し、真の値は、絶対に知ることが不可能な値なので、個々の測定値に対する誤差も絶
対に知ることができない値である。

　従って、単に誤差という場合は、最大誤差を指す場合が多い。

　問題を解く段階で与えられた数値が、正確な値なのか、誤差を含む値なのか判断に迷う
場合がある。その場合は、有効数字に注意して計算することになる。

<<結果の有効数字の決め方>>

（１）答の有効数字の桁数が指定されているとき

　　　　　　１桁多く算出し、四捨五入によって、所要の桁数とする

（２）答の有効数字の桁数が指定されていないとき

　　　（イ）問題中の有効数字の桁数がそろっているとき

　　　　　　問題中の有効数字の桁数にあわせる

　　　（ロ）問題中の有効数字の桁数がそろっていないとき

　　　　　　最も小さい有効数字の桁数にあわせる
　　　　　　（例　３８．７４÷６．９＝５．６１４４９　→５．６）

　　　（ハ）問題中の有効数字の桁数が明示されていないとき

　　　　　　　　規則：問題中の数の桁数とほぼ等しくとる
　　　　　　　　　　　（例：３．２７×２．５９＝８．４６９３　→８．４７）
　　　　　　　　規則：ｎ乗およびｎ乗根は、元の数の桁数とほぼ等しくとる
　　　　　　　　　　　（例：０．８７６の３乗＝０．６７２２２・・・　→０．６７２
　　　　　　　　　　　　　　３乗根０．８７６＝０．９５６８２・・・　→０．９５７）
　　　　　　　　規則：いろいろな桁数の数が混在しているときは、中間の桁数をとる
　　　　　　　　　　　（例：４．７２６×５．８＝２７．４１０８・・・　→２７．４（４桁、２桁→３桁）
　　　　　　　　　　　　　　５．４３×２．５８２＝２．１０３０２・・・　→２．１０（３桁、４桁→３桁））

<<途中計算の有効数字の決め方>>

　　　　　　　　問題中の数の桁数、答に要求されている桁数より１桁程度多くとる
　　　　　　　　　　　（例：　５．３８×６．７４×４．１２×４．３７
　　　　　　　　　　　　　　　　３６．２６１２
　　　　　　　　　　　　　　＝３６．２６×４．１２×４．３７
　　　　　　　　　　　　　　　　　１４９．３９１２
　　　　　　　　　　　　　　＝１４９．４×４．３７
　　　　　　　　　　　　　　　　　６５２．８７８
　　　　　　　　　　　　　　＝６５３
　　　　　　　　　　　そのまま計算すると、６５２．８６１１３１８で、やはり６５３）

<<加算・減算の結果の有効数字の決め方>>

　　　　　　　　最も最大誤差の大きい数と末位を一致させる
　　　　　　　　　　　（例：　７３６．３７＋９１．４６８＋１２６５．５＋８．７３６３
　　　　　　　　　　　　　　＝２１０２．０７４３　→２１０２．１）
　　　　　　　　各数を所要の桁より１位低くとり計算してもよい
　　　　　　　　　　　（例：　７３６．３７＋９１．４６８＋１２６５．５＋８．７３６３
　　　　　　　　　　　　　　＝７３６．３７＋９１．４７＋１２６５．５＋８．７４
　　　　　　　　　　　　　　＝２１０２．０８　→２１０２．１）

<<浮動小数点表示された数の四則演算>>

　　　　　　Ｎ＝±ａ×１０ⁿ　　（ａ：仮数部で、０≦ａ≦１、ｎ：指数部）

の形の数値計算は、次のような手順で行う。

（１）　乗除算の場合
　　（�@）　符号を決める
　　（�A）　仮数部の乗除算を行う（２倍の桁数まで計算する）
　　（�B）　指数部の加減算を行う
　　（�C）　正規化（小数第一位の数を０以外の数にすること）と丸めを行う

例　（０．１３５７×１０³）×（０．２４６８×１０²）
　　＝（０．１３５７×０．２４６８）×１０⁵
　　＝０．０３３４９０７６×１０⁵
　　＝０．３３４９×１０⁴

（２）　加減算の場合
　　（�@）　指数部を大きい方に合わせる
　　（�A）　仮数部の加減算を行う（桁数を数桁多く計算する）
　　（�B）　正規化（小数第一位の数を０以外の数にすること）と丸めを行う

例　（０．１３５７×１０³）＋（０．２４６８×１０²）
　　＝（０．１３５７×１０³）＋（０．０２４６８×１０³）
　　＝（０．１３５７＋０．０２４６８）×１０³
　　＝０．１６０３８×１０³
　　＝０．１６０４×１０³


　　加減算において、注意しなければならない場合がある。

　ほぼ等しい数の減算の場合には、有効数字の喪失（これを、桁落ちという）という現象が
起きる。この場合は、所要の桁数より３〜４桁多くとって計算する。

例　（０．１３５７×１０³）−（０．１３５５×１０³）＝０．０００２×１０³＝０．２

　上記の計算では、有効数字４桁の数が有効数字１桁の数に桁落ちしている。これを、３桁
の桁落ちという。

　一般に、ｐ桁の桁落ちがあると、その相対誤差は、１０^p 倍にもなるという。

　同様のことが平方根の計算でも起こり得る。

　例えば、十分小さいＸに対して、 の値を求める場合である。

　　Ｘ＝０．１３５７×１０^-2 に対して、１＋Ｘ＝１．００１４　より、 ＝０．７×１０^-3 位
と計算で求められるが、桁落ちにより、多くの誤差を含んでしまっている。

　桁落ちを防ぐ方法としては、分子の有理化という方法がよく知られている。

実際に、
　　　　

　どちらがより真の値に近いかというと、

　　　　 ≒ ０．０００６７８３＝０．６７８３×１０^-3 　ということから明らかであろう。

　２次方程式の解を、解の公式を用いて数値計算する場合、上と同様なことが起こり得る。
　　（ａＸ²＋ｂＸ＋ｃ＝０　において、４ｃ に比べて、ｂ² が十分大きい場合）

その場合は迷わず分子の有理化を実行して、桁落ちによる相対誤差の増加を防げばよい。

　また、次のように、問題の出題者が注意しなければならない場合もある。

例　＝３．１６　のとき、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　の値を求めよ。

　通常は、分母を有理化して、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

と計算してくれるものと出題者は期待するが、次のように計算する人もいないわけではない。

　私だったら、この解答も正解とするが、一般的には、どうなんだろうか？

<<掛け算の回数>>

　　数値計算をするとき、できるだけ掛け算の回数は減らした方がよい。

　Ａ¹⁰ を計算するとき、Ａ，Ａ²，Ａ³，・・・と順次計算していくのは、堅実であるが、非能率で
ある。実は、Ａ¹⁰ は、４回の掛け算で求めることが出来る。

　　 　　　　　　　　　（（Ａ²）²×Ａ）²

と分解すればよい。

　同様にして、Ａ¹⁰⁰⁰⁰⁰　の掛け算の回数は、２０回で済むし、Ａ⁴⁸⁸　は、１１回の掛け算で
済む。何故かは、皆さんの課題としたい。

（参考文献：D.G.Moursund C.S.Duris　Elementary Theory and Application of
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Numerical Analysis（McGraw-Hill)
　　　　　　　野崎昭広　数値解析について（昭和５７年度神奈川県数学講座）
　　　　　　　力武常次・北村良夫・清水光治　物理�T・�U（数研出版）
　　　　　　　名取　亮　著　線形計算（朝倉書店））