当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、平成２３年４月１７日付けで、ｋ.nika さんから、「ある数
式について」と題して、次のような問題が提起された。
ａ±(ｂ2＋ｂ)＝平方数 （ａ、ｂは非負整数） を満たす ａ と ｂ には、どのような法則
が存在するのだろうか。
この問いかけに対して、問題の意味を理解するために、いろいろ実験してみた。
ｂ＝０ のとき、ａ±(ｂ2＋ｂ)＝平方数 より、ａ＝平方数 より、ａ＝０、１、４、９、・・・
ｂ＝１ のとき、ａ±(ｂ2＋ｂ)＝平方数 より、ａ±２＝平方数 より、ａ＝平方数±２
このとき、 ａ＝２、３、６、７、１１、・・・
ｂ＝３ のとき、ａ±(ｂ2＋ｂ)＝平方数 より、ａ±１２＝平方数 より、ａ＝平方数±１２
このとき、 ａ＝４、１２、１３、１６、２１、・・・
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無数にある組合せのうち、（ａ，ｂ）＝ （１，０）、（２，１）、（１０，２）、（１３，３）、・・・ に注目
して、数列
１，２，１０，１３，・・・
が得られる。
オンライン整数列大辞典で検索すると、「A062317」にその数列がある。
1， 2， 10， 13， 29， 34， 58， 65， 97， 106， 146， 157， 205， 218， 274， 289， ・・・
ｂ＝１２ のとき、ａ＝２０５ で、２０５±(１２2＋１２)＝２０５±１５６＝３６１，４９＝１９2，７2
上記の計算から確かに条件式を満たしている。
（コメント） 無数にある組合せのうち、何故 （ａ，ｂ）＝ （１，０）、（２，１）、（１０，２）、・・・
に注目したのか定かでないが、「A062317」に遭遇したのは偶然の産物ですね！
ｋ.nika さんからのコメントです。（平成２３年４月１８日付け）
ある ４ｎ−１ 型巨大合成数があり(たとえば、３００桁以上でも)、
ｎ＋（ｂ2＋ｂ）＝ｃ2 ( ｎ、ｂ、ｃ ：非負整数）
とし、ｎ と ｂ の値が分かるならば、素因数分解が出来るのですが．．．。
ちなみに（平成２３年４月１９日付け）
RSA-200 = 27997833911221327870829467638722601621070446786955428537560009929
326128400107609345671052955360856061822351910951365788637105954482
006576775098580557613579098734950144178863178946295187237869221823
983
では
(RSA-200)＝４ｎ−１ として、 ｎ＋（ｂ2＋ｂ）＝ｃ2 とすると、
ｎ＝699945847 7805331967 7073669096 8065040526 7611696738 8571343900 0248233153
2100026902 3364177632 3884021401 5455587977 7378414471 5927648862 0501644193
7746451394 0339477468 3737536044 7157947365 7379680946 7305455996
ｂ＝1098352005 0188907280 1862021582 0398829766 6946142916 4873427125 6718169911
6547846822 3383071533 7053024279
ｃ＝2864582972 2202757886 5492270491 9631014102 2933143904 6124609590 8452557972
2816243938 3385998931 5317068454
となる。（→ 参考： http://en.wikipedia.org/wiki/RSA_Factoring_Challenge ）
これに対して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんからのコメントです。
（平成２３年４月１９日付け）
ｎ＋（ｂ2＋ｂ）＝ｃ2 は、 ｂ＝ｎ−１ 、ｃ＝ｎ とおけば、常に成り立ちますね。
ｋ.nika さんからのコメントです。（平成２３年４月２０日付け）
なるほど、確かにそうですね。後は、ｎ と ｂ との組み合わせは１組だけなのか、それとも
何組か存在するのでしょうか？今後の研究課題です。
話は変わりますが、次の様なものも考えてみました。
Ａ＝２ａ＋１ 、Ｂ＝２ｂ＋１ 、Ｃ＝ＡＢ (ａ、ｂ は非負整数で、Ａ＞Ｂ)
とする。このとき、 （Ａ＋Ｂ）/２、（Ａ−Ｂ）/２ はともに整数で、
｛（Ａ＋Ｂ）/２｝2−｛（Ａ−Ｂ）/２｝2＝ＡＢ＝Ｃ
から、Ｃは、二つの平方差で表す事が出来る。そこで、 Ｃ＝Ｄ2−Ｅ2 とすると、
Ｄ＝（Ａ＋Ｂ）/２＝（Ａ2＋ＡＢ）/（２Ａ）＝（Ａ2＋Ｃ）/（２Ａ）
Ｅ＝（Ａ−Ｂ）/２＝（Ａ2−ＡＢ）/（２Ａ）＝（Ａ2−Ｃ）/（２Ａ）
と表す事が出来る。
例 ８５＝１７・５＝１１2−６2 より、
１１＝（１７2＋８５）/（２・１７） 、６＝（１７2−８５）/（２・１７）
例 １８９＝２１・９＝１５2−６2 より、
１５＝（２１2＋１８９）/（２・２１） 、６＝（２１2−１８９）/（２・２１）
Ｂの数を使わずに、ＡとＣのみで、２つの平方差が作れるのが面白いと思いました。
同様にして、
Ｄ＝（Ａ＋Ｂ）/２＝（ＡＢ＋Ｂ2）/（２Ｂ）＝（Ｃ＋Ｂ2）/（２Ｂ）
Ｅ＝（Ａ−Ｂ）/２＝（ＡＢ−Ｂ2）/（２Ｂ）＝（Ｃ−Ｂ2）/（２Ｂ）
とも表す事が出来る。
例 ８５＝１７・５＝１１2−６2 より、
１１＝（８５＋５2）/（２・５） 、６＝（８５−５2）/（２・５）
例 １８９＝２１・９＝１５2−６2 より、
１５＝（１８９＋９2）/（２・９） 、６＝（１８９−９2）/（２・９）
以下工事中