求積法により求められる微分方程式は少ない。一般には、数値解析法などにより、解となる
関数のとり得る値の近似値の表を手に入れるだけである。実用上は、それで十分である。
しかし、数学を専攻するものとして、それだけでは何か不完全燃焼という感は否めない。数
学の場合、いかに解くかということよりも、その問題は解けるのか、解はあるのか、という点に
こそ興味の対象がある。ガウスは、複素数の範囲で、ｎ 次方程式には ｎ 個の解が存在する
ことを示した。（代数学の基本定理）しかし、４次方程式までは、その解を求める公式は存在す
るが、５次以上の方程式に対しては、解の公式は存在しないことが示されている。（アーベル）
数学の定理には、実際に解を求める方法を説いたものが多いが、解を具体的に求める方法
は分からないが、解は確かに存在する、ということを説いたものもある。
このような定理を、『存在定理』という。
このような存在定理は、高校で学習する「中間値の定理」とか「平均値の定理」にみられる。
微分方程式では、次のような存在定理が知られている。
定理（Cauchy-Lipschitz)
微分方程式 Ｙ’＝Ｆ(Ｘ，Ｙ) （初期条件 Ｘ＝ａ のとき、Ｙ＝ｂ ）において、
関数 Ｆ(Ｘ，Ｙ) が次の条件を満たすものとする。
（１） Ｆ(Ｘ，Ｙ) は、点( ａ ， ｂ )を含む閉集合 Ｉ （｜Ｘ−ａ｜≦Ａ、｜Ｙ−ｂ｜≦Ｂ）で、連続
（２） リップシッツ（Lipschitz）の条件： ある正数 Ｋ に対して、
｜Ｆ(Ｘ，Ｙ)−Ｆ(Ｘ，Ｚ)｜≦Ｋ｜Ｙ−Ｚ｜
このとき、ある閉区間で定義された関数 Ｙ で、Ｘ＝ａ のとき、Ｙ＝ｂ となるような解が存在
し、しかも、ただ一つ存在する。
この定理は、Picard の逐次近似法により証明されるが、このホームページのレベルをはる
かに超えてしまうので、その証明は省略。
（興味ある方は、次の文献を参照：矢野健太郎 著 微分方程式（裳華房））
上の定理で、（２）を省いた形の定理は、１８９０年 ペアノ（Ｐeano）により、証明された。そ
の定理では、解の一意性が無視され、解の存在のみが示された。
解の存在定理について、いろいろ難しい議論はあるが、大雑把に言って、
ある範囲で Ｆ(Ｘ，Ｙ) が連続ならば、その範囲で解は存在する
と考えてよいだろう。