接線の問題　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　接線の問題は、平面幾何や解析等で話題になる常套問題である。このページでは、接線
の問題を収集していこうと思う。

　手頃な接線に関する問題が、東北大学　文系（１９６６）で出題されている。

問題　　直線 ｙ＝２（ｘ−１） が曲線 ｙ＝ａｘ³＋（１−２ａ）ｘ　（ａ≠０） に接するように ａ の値を
　　定めよ。

（解）　接点（ ｔ ，ａｔ³＋（１−２ａ）ｔ）における接線の方程式は、

　ｙ＝（３ａｔ²＋（１−２ａ））（ｘ−ｔ）＋ａｔ³＋（１−２ａ）ｔ＝（３ａｔ²＋（１−２ａ））ｘ−２ａｔ³

この式が ｙ＝２（ｘ−１） と一致するので、　３ａｔ²＋（１−２ａ）＝２　、−２ａｔ³＝−２

第２式より、　ａ＝１/ｔ³ で、これを第１式に代入して、　３/ｔ−２/ｔ³＝１

よって、　ｔ³−３ｔ²＋２＝０　より、　（ｔ−１）（ｔ²−２ｔ−２）＝０　から、　ｔ＝１、１±

ｔ＝１　のとき、　ａ＝１

ｔ＝１±　のとき、　ａ＝１/（１０±６）＝（−５±３）/４　　（終）


　次のような解法も考えられる。

（別解）　題意より、　ａｘ³＋（１−２ａ）ｘ＝２（ｘ−１）　から、

　ａｘ³−（１＋２ａ）ｘ＋２＝ａ（ｘ−α）²（ｘ−β）　と因数分解できる。

係数比較して、　２α＋β＝０　、−１−２ａ＝ａ（α²＋２αβ）　、２＝−ａα²β

β＝−２α　を第２式、第３式に代入して、　−１−２ａ＝−３ａα²　、１＝ａα³

ａ＝１/α³　より、　−１−２/α³＝−３/α　から、　α³−３α²＋２＝０

よって、　α＝１、１±　から、　ａ＝１　、（−５±３）/４　　（終）


　さらに、次のような解法も考えられる。

（別解）　Ｆ（ｘ）＝ａｘ³−（１＋２ａ）ｘ＋２　とおくと、　Ｆ（ｘ）＝０　、Ｆ’（ｘ）＝０　は共通解を持つ。

Ｆ’（ｘ）＝３ａｘ²−（１＋２ａ）＝０　から、ａ＝１/（３ｘ²−２）

よって、　ｘ³/（３ｘ²−２）−（１＋２/（３ｘ²−２））ｘ＋２＝０　より、

　ｘ³−（３ｘ²−２＋２）ｘ＋２（３ｘ²−２）＝０　すなわち、　ｘ³−３ｘ²＋２＝０

よって、　ｘ＝１、１±　から、　ａ＝１　、（−５±３）/４　　（終）


　よおすけさんから問題をご提供いただきました。（令和６年７月８日付け）

問題　　２つの２次関数 Ｆ(ｘ)＝−ｘ²＋２ｘ−１、Ｇ(ｘ)＝ｘ² について、次の問いに答えなさい。

(1)　放物線 ｙ＝Ｆ(ｘ) 上の点(ａ，−ａ²＋２ａ−１)における接線の方程式を求めなさい。

(2)　(1)の接線が放物線 ｙ＝Ｇ(ｘ) にも接するように ａ の値を定めなさい。

（出典）第125回実用数学技能検定2級2次問題7

（解）（１）　接線の方程式は、ｙ＝（−２ａ＋２）（ｘ−ａ）−ａ²＋２ａ−１＝（−２ａ＋２）ｘ＋ａ²−１

（２）　ｘ²＝（−２ａ＋２）ｘ＋ａ²−１　から、　ｘ²＋２（ａ−１）ｘ−ａ²＋１＝０

　判別式をＤとすると、　Ｄ/４＝（ａ−１）²＋ａ²−１＝２ａ²−２ａ＝２ａ（ａ−１）＝０

　よって、　ａ＝０、１　　（終）


（追記）　令和６年９月２９日付け

　次の東北大学　理系（１９８１）の問題は漸化式を作って解く問題である。

問題４　　数列 ｛ａ_ｎ｝ を次のようにして定める。初項 ａ₁ （ａ₁≠０、ａ₁≠２）は与えられた実数
　　である。次に、ａ_ｎが与えられたとき、曲線 ｙ＝１/ｘ−１上に、ｘ 座標がａ_ｎである点Ｐをとる。
　　Ｐにおいて、この曲線に引いた接線が ｘ 軸と交わる点をＱとすると、Ｑの ｘ 座標がａ_ｎ+1で
　　ある。(ｎ＝１、２、３、・・・)
（１）　ａ_ｎ+1−１とａ_ｎ−１との関係を調べよ。
（２）　ａ_ｎをａ₁の式で表し、lim_n→∞ ａ_n　を求めよ.

（解）（１）　ｙ’＝−１/ｘ²　なので、点Ｐにおける接線の方程式は、

　ｙ＝−｛１/ａ_ｎ²｝（ｘ−ａ_ｎ）＋１/ａ_ｎ−１＝−｛１/ａ_ｎ²｝ｘ＋２/ａ_ｎ−１

ｙ＝０　とおいて、　ｘ＝２ａ_ｎ−ａ_ｎ²　より、　ａ_ｎ+1＝２ａ_ｎ−ａ_ｎ²

よって、　ａ_ｎ+1−１＝−（ａ_ｎ−１）²

（２）　ａ_ｎ−１＝−（ａ_ｎ-1−１）²＝−（ａ_ｎ-2−１）⁴＝・・・＝−（ａ₁−１）＾（2^ｎ-1） （ただし、ｎ≧２）

よって、　−１＜ａ₁−１＜１　すなわち、　０＜ａ₁＜２　のとき、ａ_ｎ−１ → ０　（ｎ → ∞）

　ａ₁＜０　、２＜ａ₁　のとき、ａ_ｎ−１ → −∞　（ｎ → ∞）

したがって、　０＜ａ₁＜２　のとき、lim_n→∞ ａ_n＝１

　ａ₁＜０　、２＜ａ₁　のとき、lim_n→∞ ａ_n＝−∞　　（終）


（追記）　令和６年１１月３０日付け

　次の東北大学　理系（１９８７）の問題は、易しい問題だろう。

問題３　　ａ を 0 でない実数とする。２つの曲線 ｙ＝ｅ^ｘ および ｙ＝ａｘ² の両方に接する直線
　　の本数を求めよ。

（解）　曲線 ｙ＝ｅ^ｘ 上の接点（ｔ，ｅ^ｔ）における接線の方程式は、ｙ＝ｅ^ｔ（ｘ−ｔ）＋ｅ^ｔ

これが、曲線 ｙ＝ａｘ² に接するので、　ａｘ²＝ｅ^ｔ（ｘ−ｔ）＋ｅ^ｔ　すなわち、

　ａｘ²−ｅ^ｔｘ＋（ｔ−１）ｅ^ｔ＝０　が重解を持つので、　（判別式）＝ｅ^2ｔ−４ａ（ｔ−１）ｅ^ｔ＝０

すなわち、　ｅ^ｔ＝４ａ（ｔ−１）^{において、　ｔ≠１　なので、}ａ＝ｅ^ｔ/（４（ｔ−１））

　ｙ＝ｅ^ｔ/（４（ｔ−１））　のグラフは、ｙ’＝（ｔ−２）ｅ^ｔ/（４（ｔ−１）²）　より、

　　

したがって、　ａ＜０　、ａ＝ｅ²/４　のとき、接線の本数は、１本

　０＜ａ＜ｅ²/４　のとき、接線の本数は、０本

　ａ＞ｅ²/４　のとき、接線の本数は、２本　　（終）


（追記）　令和７年３月２７日付け

　次の東北大学　後期文系（１９９０）の問題は、与えられた条件をどう使うのかがポイントだ
ろう。

問題　　ｘｙ平面の原点をＯ、放物線 ｙ²＝ｘ 上の点をＰ、放物線 ｙ＝ｘ² 上の点をＱ、Ｑにお
　　ける ｙ＝ｘ² の接線と ｘ 軸の交点をＲとする。ＰとＱをＰ≠Ｏ、Ｑ≠Ｏ、ＯＰ⊥ＯＱとなるよ
　　うに動かし、位置ベクトルＯＲをＯＲ＝ｐＯＰ＋ｑＯＱ　（ｐ、ｑ は実数)　と表す。

　ｐとｑの関係を求め、点（ｐ，ｑ）の描く図形をかけ。

（解）　Ｐ（ｔ²，ｔ）、Ｑ（ｓ，ｓ²）　とおくと、ＯＰ⊥ＯＱより、　ｓｔ²＋ｓ²ｔ＝０　なので、ｔ＋ｓ＝０

よって、Ｑ（−ｔ，ｔ²）　と書ける。　ｙ’＝２ｘ　より、Ｑにおける接線の方程式は、

　ｙ＝−２ｔ（ｘ＋ｔ）＋ｔ²＝−２ｔｘ−ｔ²　となるので、ｙ＝０　とおいて、　ｘ＝−ｔ/２

　よって、Ｒ（−ｔ/２，０）　となる。

　ＯＲ＝ｐＯＰ＋ｑＯＱ　（ｐ、ｑ は実数)　より、

　（−ｔ/２，０）＝ｐ（ｔ²，ｔ）＋ｑ（−ｔ，ｔ²）　すなわち、　ｐｔ²−ｑｔ＝−ｔ/２　、ｐｔ＋ｑｔ²＝０

ｔ≠０　なので、　ｐｔ＝ｑ−１/２　、ｐ＋ｑｔ＝０

　ｔ＝−ｐ/ｑ　を第１式に代入して、　−ｐ²/ｑ＝ｑ−１/２　すなわち、　ｐ²＋ｑ²−（１/２）ｑ＝０

より、　ｐ²＋（ｑ−１/４）²＝１/１６

　よって、点（ｐ，ｑ）は、中心（０，１/４）で半径１/４の円周上にある。ただし、ｐ≠０　より、

　（０，０）、（０，１/２）は除く。

　　　　（終）


（追記）　令和７年４月８日付け

　次の東北大学　後期理系（１９９１）の問題は、与えられた条件をどう使うのかがポイントだ
ろう。

問題　　傾きが正の直線Ｌが２つの放物線

　Ｃ₁：ｙ＝ａｘ²＋１/（３ａ³）　、Ｃ₂：ｙ＝ｂｘ²＋１/（３ｂ³）　（ａ＞０、ｂ＞０、ａ≠ｂ）

に接している。このとき、次の問に答えよ。

（１）　ＬとＣ₁の接点を（ｐ，ｑ）とするとき、ｐ、ｑ を ａ、ｂ を用いて表せ。
（２）　Ｘ＝ｌｉｍ_b→a ｐ、Ｙ＝ｌｉｍ_b→a ｑ とする。Ｘ、Ｙを求め、さらにＹをＸの式で表せ。
（３）　ａ が正の実数全体を動くとき、点(Ｘ，Ｙ)を描く曲線の概形をかけ。

（解）（１）　ｙ’＝２ａｘ　より、（ｐ，ｑ）における接線の方程式は、

　ｙ＝２ａｐ（ｘ−ｐ）＋ｑ＝２ａｐｘ−２ａｐ²＋ａｐ²＋１/（３ａ³）＝２ａｐｘ−ａｐ²＋１/（３ａ³）

ｙ＝ｂｘ²＋１/（３ｂ³）　と連立して、　ｂｘ²−２ａｐｘ＋ａｐ²−１/（３ａ³）＋１/（３ｂ³）＝０

接することから、判別式Ｄ/４＝ａ²ｐ²−ａｂｐ²＋ｂ/（３ａ³）−１/（３ｂ²）＝０

よって、　ａ（ａ−ｂ）ｐ²＝１/（３ｂ²）−ｂ/（３ａ³）＝（ａ−ｂ）（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）/（３ａ³ｂ²）　より、

　ｐ²＝（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）/（３ａ⁴ｂ²） から、　ｐ＝（√（ａ²＋ａｂ＋ｂ²））/（ａ²ｂ）

また、　ｑ＝ａｐ²＋１/（３ａ³）＝（ａ²＋ａｂ＋２ｂ²））/（３ａ³ｂ²）

（２）　ｂ→ａ　のとき、

Ｘ＝ｌｉｍ_b→a （√（ａ²＋ａｂ＋ｂ²））/（ａ²ｂ）＝１/ａ²

Ｙ＝ｌｉｍ_b→a （ａ²＋ａｂ＋２ｂ²））/（３ａ³ｂ²）＝４/（３ａ³）

なので、　Ｙ＝（４/３）Ｘ＾（3/2）　（Ｘ＞０）

（３）　点(Ｘ，Ｙ)を描く曲線の概形は、

　　　　（終）



　　　以下、工事中！