近似について　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰでは、いろいろな値を手計算で求める方法をいくつか紹介してきた。

　平方根・立方根を筆算で求める方法について、、手計算が面白い、方程式による開平、

　無理数を近似する分数、超越数を手計算で求める、平方根２を求める数列、

　高次方程式の解の近似計算、・・・・・・・・・・・・

　もちろん上記のような計算は大切であるが、ちょっと不満もあった。それは、手計算といっ
ても結構な計算が必要だということである。

　数のおよその値を自力で計算するという趣旨は達成しているが、そのおよその値を即座
に暗算に近い形の簡単な計算で求めたいという希望は叶っていなかった。

　そこで、このページでは、暗算のレベルで数のおよその値を求めるというポリシーのもとに、
いくつかの話題をまとめようと思う。

　この場合の根底になる定理が、平均値の定理である。

平均値の定理

　関数 ｆ (Ｘ) が、区間 ［ ａ ， ｂ ］ で連続で、区間 （ ａ ， ｂ ） で微分可能であるとき、

　f (ｂ) ＝ ｆ (ａ) ＋ （ ｂ − ａ ）ｆ’(ｃ)　　　（　ａ ＜ ｃ ＜ ｂ　）

を満たす ｃ が少なくとも一つ存在する。


　この定理は、次のような形に変形して考えると、意味が分かりやすい。

左辺は、２点（ａ，ｆ(ａ)）、（ｂ，ｆ(ｂ)） を通る 　　直線の傾きであり、 　　　その傾きに等しい微分係数が存在する 　　ということを平均値の定理は主張している。

　ところで、「微分可能」という言葉について、当ＨＰがいつもお世話になっている未菜実さん
のＨＰ「数理パズル入門」で話題になっていた。未菜実さんの説明が一番分かりやすいと思
いました。．．．．．．．．（ちょっと気になったもので！現在リンク切れで哀しい！）

　平均値の定理において、ｂ が十分 ａ に近いとき、当然 ｃ も十分 ａ に近い。

このことから、ｂ＝ａ＋ｈ　として、ｈ≒０　のとき、次のような１次近似式を得る。

　f (ａ＋ｈ) ≒ ｆ (ａ) ＋ ｈｆ’(ａ)

　この１次近似式は、少々近似の仕方が粗っぽい印象を受けるが、実は意外にも実用的
には十分すぎる良好な近似を与える。

例　 のおよその値を求めよ。

　　　なので、

　

に注意して、

　

　電卓を用いて、　の値を求めてみれば、１．９７４３５・・・　なので、小数第２位まで信
頼できる。（上記の計算が暗算でできるかどうかは個々人の計算能力によって左右される。）

　上記の求め方に対して、次のような求め方（関数式の設定の違い）もある。

　

また、関数　　に対して、

　

なので、　　のとき、

　

が成り立つ。このとき、

　

よって、

　

　私個人的には、暗算のレベルで数のおよその値を求めるという趣旨に照らせば、前者の
方が解答として実戦的であると思うのだが、読者の皆さんはどう感じられるであろうか？


（追記）　ｎ 乗根の近似計算について、ＨＰ ： 「高校数学の窓」の中の、林　邦英さんのレポ
　　　ートが大いに参考になった。

　レポートによると、　ａ ≒ １ のとき、次の近似式

　

が成り立つという。試しに、　ｎ ＝ ５ 、 ａ＝１５/１６　として、公式を適用してみると、

　 ≒ ２・（６・（１５/１６）＋４）/（４・（１５/１６）＋６）＝ ７７/３９≒ １．９７４３５８９７４３５・・・

　　の値は、１．９７４３５０４８６・・・　なので、小数第５位まで正しく求められている。

　この事情をグラフを通して考察してみよう。

２つの関数　　と、

は、点（１，１）において、共通の接線

　

を有する。したがって、　ｘ ≒ １ のとき、

と

は、両者とも、　　の近似を与えていることが分かる。

しかるに、

　

の方が、よりよい近似を与えていることが、下図から了解される。

　


（コメント）　手軽に、精度よく、累乗根の近似値が求められることに、とても感動しました！
　　　　　林さんに感謝します。）


（追記）　平成１９年１月６日付け

　上記の話題に関連して、１月５日付けで、ＨＮ「電卓男」さんが当ＨＰの掲示板「出会いの泉」
に次のように書き込みをされた。

　昔ブルーバックスの本で、電卓でｎ乗根の近似を求める方法を読んだことがあるのですが、
原理がよくわかりません。たしかにかなり良い近似が得られるのですが、原理がわかる方、教
えてください。

　このページで紹介した、林　邦英さんの結果を用いると、「電卓男」さんが求めている原理
が説明できそうである。

　すなわち、

が、

の近似を与えていることを利用して、一般

の数 Ａ　に対して、その ｎ 乗根の近似値が√機能付きの普通の電卓で求められる。


　「電卓男」さんによれば、次のようにやればよいとのことである。
（出典は、講談社のブルーバックス）

＜＜普通電卓で Ａ の ｎ 乗根を求める手順＞＞

（１）　電卓で、数 Ａ　（たとえば、Ａ＝３ ）を打ち込む。（→　「３」　）

（２）　「√」キーを８回押す。
（→　この操作で、限りなく １ に近い値を求める。数 Ａがある程度大きい数の場合は、√キ
　ーを押す回数を増やさなければならない。）

（３）　１ を加えて、メモリに保存（→　「＋」「１」「Ｍ＋」　）

（４）　数 ２ を（３）の値で割って、１ を引く。（→　「２」「÷」「ＭＲ」「−」「１」「＝」　）

（５）　（計算する ｎ 乗根の ｎ の値を、たとえば、ｎ＝７　として）

　（４）の値を ７ で割り、１ を加え、（３）のメモリをクリアしてから、メモリに保存。
　（→　「÷」「７」「＋」「１」「ＭＣ」「Ｍ＋」　）

（６）　数 ２ を（５）の値で割って、１を引く。（→　「２」「÷」「ＭＲ」「−」「１」「＝」　）

（７）　「×」キーと「＝」キーを １ セットとして、（２）と同じ回数を押す。
（→　「×」「＝」「×」「＝」「×」「＝」「×」「＝」「×」「＝」「×」「＝」「×」「＝」「×」「＝」　）


（補足）　平成１９年１月１０日付けで「電卓男」さんから、一般的な電卓では、

　

という計算は、　「２」「＋」「３」「÷」「＝」「１」「＝」　という操作で求められるものが多いと
のご教示をいただいた。

　私の愛用する電卓（随分昔に、Ｔｅｘａｓ　Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔｓ 社からのもらい物．．．）では残念ながら出来な

　　

かったが、最近もらった別な電卓では確かに出来たので、随分電卓も進歩したものだと感心
した。それにしても、私が上記の電卓と同様の機能を持つ卓上計算機（今でも現役！）を購
入した頃は、２〜３万円（当時の金額で！！）と高価な印象があったが、最近は、電卓が無
料でもらえる時代になってしまった！

　「２」「＋」「３」「÷」「＝」「１」「＝」　のうち前半の　「２」「＋」「３」「÷」「＝」　では、

　「２＋３」の計算結果の逆数「０．２」を計算し、後半の　「１」「＝」　では、その計算結果の

「１」倍　を求めるというカラクリになっているようだ。

　「電卓男」さんによれば、このカラクリを用いると、上記の（１）〜（７）で行った計算は、実際

に電卓のキーをたたく場合、次のように操作するとのことである。

　「３」
　「√」「√」「√」「√」「√」「√」「√」「√」　（←　√を、８回）
　「＋」「１」「÷」「＝」「２」「＝」
　「−」「１」
　「÷」「７」
　「＋」「１」「÷」「＝」「２」「＝」
　「−」「１」
　「×」「＝」「×」「＝」「×」「＝」「×」「＝」「×」「＝」「×」「＝」「×」「＝」「×」「＝」　（←　平方の計算を、８回）

実際に、この方法で、３ の ７ 乗根の近似値を求めてみると、１．１６９９３０５３７　となり、実

際の値（１．１６９９３０８１３）と比べてもなかなかの精度とのことである。


（コメント）　表計算ソフトを使うと累乗根の値はすぐ求められるので、普通の電卓を使うという
　　　　発想が今まであまりなかった。多少の煩雑さはあるが、普通の電卓でも簡単に求めら
　　　　れることに感動しました。

　また、上記の方法（１）〜（６）を一つの数式にまとめると、分数関数

　

が得られる。この方法を知ることによって、分数関数の持つ意味が明瞭に認識されました。
このような機会を与えていただいた電卓男さんに感謝いたします。


　読者のために、いくつか練習問題をあげておこう。

練習問題　次の値は、およそいくらといえるか？
（このような問題を考えることは、数的感覚を養うことに対して有効であると信じる。）

（１）		（２）		（３）		（４）		（５）
（６）

　皆さんは、次のような形で、暗算のレベルで求められたであろうか？

（答）（１）　２−１/３２＝６３/３２≒１．９６８７５　　（実際の値は、１．９６７９９・・・）

（２）　１−π/９０≒０．９６５０９　　（実際の値は、０．９６５６９・・・）

（３）　４＋１/２４＝９７/２４≒４．０４１６７　　（実際の値は、４．０４１２４・・・）

（４）　３−１/１３５＝４０４/１３５≒２．９９２５９　　（実際の値は、２．９９２５５・・・）

（５）　（これは、ちょっと暗算では無理かな？）
　　３−１/１０００ｌｏｇ１０≒２．９９９５７　　（実際の値は、２．９９８６９・・・）

（６）　（１０−１/１０）/９８＝９９/９８０≒０．１０１０２　　（実際の値は、０．１０１０１・・・）


　ところで、３次方程式　(Ｘ−１)(Ｘ−２)(Ｘ−３)＝０　の解が、１ と ２ と ３ になることは、高次
方程式を特に学習していなくても、「何となくそうだね！」と納得できる事実であろう。

　それでは、３次方程式　(Ｘ−１)(Ｘ−２)(Ｘ−３)＝０．０２　の解は、如何ほどであろうか？
１ と ２ と ３ に近い値と予想はできるが、この解を厳密に求めることは難しい。

　しかし、解の近似値は容易く求めることができる。左下図から分かるように、

Ｆ（Ｘ）＝(Ｘ−１)(Ｘ−２)(Ｘ−３)−０．０２ とおくと、方程式　Ｆ（Ｘ）＝０　は、３つの解 　１＋α 、２＋β 、３＋γ　を持つ。 　Ｆ’（１）＝２、Ｆ’（２）＝−１、Ｆ’（３）＝２ 　なので、　−０．０２＋２α ≒０ 　−０．０２−β ≒０ 　−０．０２＋２γ ≒０ 　よって、α ≒０．０１、β ≒−０．０２、 　γ ≒０．０１ 　ゆえに、３つの解の近似値は、 　　　１．０１　、　１．９８　、　３．０１

　直接的に、方程式　(Ｘ−１)(Ｘ−２)(Ｘ−３)＝０．０２　を解こうとは思わないが、このように
近似値で解を求めると何故か愛らしく感じられるから不思議だ。


（追記）　平成２８年５月１２日付け

　銀行預金の複利計算、例えば、元金Ａ円を１ヶ月金利０．０１％で３ヶ月預けた場合の元利
合計Ｎは、Ｎ＝Ａ（１．０００１）³　で与えられる。１次近似式

　ｘ≒０　のとき、　（１＋ｘ）^ｎ≒１＋ｎｘ

を用いれば、（１．０００１）³≒１．０００３　ということは分かる。

　ｘ＝０ におけるマクローリン展開から、近似式が「１＋ｎｘ」となることは理論的に確かなの
だが、あまりしっくりしないというのが率直な感想である。

　最近、このことの理解に自然対数の底「ｅ」が関わることを知ることができた。

　ａ^ｘ≒１＋ｘ　という関係式は、今から３００年ほど前から天文や数学だけでなく経済活動の
発展にともない金融関係からも、その重要性が認識されていたという。しかもこの関係式を
満たすａは、ネイピアの数 ｅ と言われる唯一の数である。

　次のように計算すると、今までしっくりいかなかった部分がスッキリしたような気分だ。

（１．０００１）³＝（１＋０．０００１）³≒（ｅ^0.0001）³＝ｅ^0.0003≒１＋０．０００３＝１．０００３

　ｘをｎ倍するという計算は、結局のところ、指数法則　（ｅ^ｘ）^ｎ＝ｅ^ｎｘ　だったんですね！


（追記）　「円周率の近似計算」と題して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さ
　　　んからのご投稿です。（令和２年５月３日付け）

　π=4(1-1/3+1/5-1/7+…)　は収束が遅いことで有名ですが、うまく使うと、ある程度の桁数
が求められます。

　4(1-1/3+1/5-1/7+…-1/999999)　を計算するとき、

　部分和 4(1-1/3+1/5-1/7+…-1/99999)　と　部分和 4(1-1/3+1/5-1/7+…-1/9999)

もとっておきます。これを３つ並べて各桁の数字を多数決で決めると、

3．1413926535917932383626433954795001… 　← -1/9999までの和
3．1415726535897952384626423832795041… 　← -1/99999までの和
3．1415906535897932404626433832695028… 　← -1/999999までの和

3．14159265358979323846264338327950 　← 多数決結果

となり、小数点以下32桁が正しく求まりました。


（コメント）　多数決で決める、というのは斬新な発想ですね！でも、「ゆらぎ」が補正されて
　　　　　　真の値に近づくのかな？


（追記）　ＧＡＩ さんからご投稿いただきました。（令和６年９月２４日付け）

　２つの無理数で近似させてみる。次の自然数ｎは、２つの無理数を組合せると、殆んど一
致する値に近づけた。

n≒ 無理数での表示　 →≒２数の誤差の絶対値
3≒ 5*sqrt(3)-4*sqrt(2) →≒0.0033997883520062724304768106905695204447
8≒ 9*sqrt(5)-7*sqrt(3) →≒0.00025614451596621299043862804037955033911
12≒ 19*sqrt(10)-34*sqrt(2) →≒1.4422513975648721560721091917469468432 E-5
14≒ 5*sqrt(2)+4*sqrt(3) →≒0.00072895785901558188177101292802013936790
16≒ 33*sqrt(17)-31*sqrt(15) →≒1.9129528747035492978538901538940856089 E-6
18≒ 11*sqrt(6)-4*sqrt(5) →≒0.00011526061580029453343014683970036989732
20≒ 51*sqrt(26)-98*sqrt(6) →≒4.0048057270810559023898452505417707900 E-7
24≒ 73*sqrt(37)-71*sqrt(35) →≒1.1169729827469664119887608509554651446 E-7
28≒ 495*sqrt(2)-388*sqrt(3) →≒3.7957659268186737979522070518583296012 E-8
32≒ 129*sqrt(65)-381*sqrt(7) →≒1.4903890174177504572628253724468858932 E-8
36≒ 163*sqrt(82)-644*sqrt(5) →≒6.5343456440228885554609297031481511666 E-9
40≒ 201*sqrt(101)-597*sqrt(11)→≒3.1252343924574036722748632756462662144 E-9
51≒ 15*sqrt(7)+8*sqrt(2) →≒2.1835046380752062253901733508985792273 E-5
57≒ 21*sqrt(11)-4*sqrt(10) →≒9.9567898795034180132923535462276858634 E-6
124≒ 29*sqrt(14)+4*sqrt(15) →≒2.3987260322773542251636904718057150093 E-6
132≒ 105*sqrt(2)-4*sqrt(17) →≒1.5467043379248916766181219901488696439 E-6
245≒ 47*sqrt(23)+8*sqrt(6) →≒4.6203675675934213838670625462524820104 E-7
255≒ 159*sqrt(3)-4*sqrt(26) →≒3.4908035035075107186334257838554981487 E-7
426≒ 69*sqrt(34)+4*sqrt(35) →≒1.2327580333941413828310829952623491724 E-7
438≒ 75*sqrt(38)-4*sqrt(37) →≒1.0148035501276569162826004864350052660 E-7
679≒ 95*sqrt(47)+16*sqrt(3) →≒4.0798771434653070872845390882949520266 E-8
693≒ 101*sqrt(51)-20*sqrt(2) →≒3.5365948821905606463899831583875575438 E-8
1016≒ 125*sqrt(62)+4*sqrt(63) →≒1.5748535453351304854827891931151138080 E-8
1032≒ 131*sqrt(66)-4*sqrt(65) →≒1.4116608610778294521636201128152863637 E-8
1449≒ 159*sqrt(79)+16*sqrt(5) →≒6.8247376929139949103118573138778558128 E-9
1467≒ 165*sqrt(83)-4*sqrt(82) →≒6.2596490147330746056941507128262552391 E-9
1990≒ 1379*sqrt(2)+12*sqrt(11) →≒3.2371295130920564747781094499907966819 E-9

　なお、

2024≒64778373-1536210*sqrt(1778)(≒2024.0000000077188666499249599539865432)
1825346970≒1881803*sqrt(940902)-4*sqrt(940901)(≒1825346970.0000000000000000000000386764)

なる無理数でかなり近づく。(下の数「1825346970」は0〜9の数字が一度顔を出すタイプの数)


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年９月２５日付け）

　一つの無理数で近づけてみました。右端の数値は、前２つの差の絶対値です。
一般に、８の倍数の自然数はいずれも行けそうです。

16=42-15*sqrt(3)=>0.019237886466840597088304877411914495791

24=123-70*sqrt(2)=>0.0050506338833465838817893053211345001350

32=276-63*sqrt(15)=>0.0020491889327362337062798137088245173490

40=525-198*sqrt(6)=>0.0010309289307365569377532082335043901511

48=894-143*sqrt(35)=>0.00059101675490591287205430668876207606729

56=1407-780*sqrt(3)=>0.00037009627571104859185362541955378301120

64=2088-765*sqrt(7)=>0.00024703558819826626394846596577432967552

72=2961-1292*sqrt(5)=>0.00017307027171223934761999919110380885978

80=4050-1197*sqrt(11)=>0.00012594458638060942551420518803934464147

88=5379-906*sqrt(30)=>9.4500095344005671898144251386011596633 E-5

96=6972-575*sqrt(143)=>7.2716696137850341565187520446959431717 E-5

104=8853-1350*sqrt(42)=>5.7149388688195943961281204512114323297 E-5

112=11046-783*sqrt(195)=>4.5728919063980887084329367575848946092 E-5

120=13575-899*sqrt(224)=>3.7160906777440839558589688710914293688 E-5

128=16464-1023*sqrt(255)=>3.0607247824951139183948832040071781991 E-5

136=19737-13860*sqrt(2)=>2.5508902623608594282453584631070366255 E-5

144=23418-1295*sqrt(323)=>2.1483200147407576879212274060209928031 E-5

152=27531-8658*sqrt(10)=>1.8262171743553579692301522935038486629 E-5

160=32100-1599*sqrt(399)=>1.5654351913667168657434798770696208115 E-5

168=37149-3526*sqrt(110)=>1.3520456453081349107645400277878002460 E-5

176=42702-1935*sqrt(483)=>1.1757513052464834609167108976471561999 E-5

184=48783-8460*sqrt(33)=>1.0288277537663826978867857967869962110 E-5

192=55416-11515*sqrt(23)=>9.0540344785055006911665795110653250388 E-6

200=62625-9996*sqrt(39)=>8.0096115343544563630858145670082038073 E-6

208=70434-40545*sqrt(3)=>7.1198701339296880836444048825359176973 E-6

216=78867-5830*sqrt(182)=>6.3571982558417182849809728108097647648 E-6

224=87948-9405*sqrt(87)=>5.6996944965601575244751615724698325284 E-6

232=97701-6726*sqrt(210)=>5.1298361531682648788761153900878672073 E-6

240=108150-3599*sqrt(899)=>4.6334908721224596314615983300244219419 E-6

248=119319-30744*sqrt(15)=>4.1991752820486645490899063644723485097 E-6

256=131232-4095*sqrt(1023)=>3.8174932812674583700545221491687345189 E-6

264=143913-34440*sqrt(17)=>3.4807064442220806178631564440052527937 E-6

272=157386-4623*sqrt(1155)=>3.1824025866890528095006338533945508999 E-6

280=171675-29394*sqrt(34)=>2.9172379591251503174251310489710550738 E-6

288=186804-5183*sqrt(1295)=>2.6807351648308626097063006717446215453 E-6

296=202797-32850*sqrt(38)=>2.4691236092811802692280772010616819375 E-6

304=219678-5775*sqrt(1443)=>2.2792126687875382004922224433354285596 E-6

312=237471-24332*sqrt(95)=>2.1082902188077300200429255193613423229 E-6

320=256200-6399*sqrt(1599)=>1.9540409567059134673684620949682723996 E-6

328=275889-26892*sqrt(105)=>1.8144802784198278034278698655600337535 E-6

336=296562-7055*sqrt(1763)=>1.6879004543876111616534704993720122179 E-6

344=318243-14790*sqrt(462)=>1.5728265895810835886254647889304459244 E-6

352=340956-23229*sqrt(215)=>1.4679804112725554698240184211417630657 E-6

360=364725-16198*sqrt(506)=>1.3722503533570500336644416285396892947 E-6

368=389574-25389*sqrt(235)=>1.2846667317585679159772552841492182749 E-6

376=415527-35340*sqrt(138)=>1.2043810565329850268087220171954593041 E-6

384=442608-64505*sqrt(47)=>1.1306487210116121767818178054760610574 E-6

392=470841-192060*sqrt(6)=>1.0628144602296206119864992601618119558 E-6

400=500250-69993*sqrt(51)=>1.0003000900280090029710013420615528427 E-6


　らすかるさんからのコメントです。（令和６年９月２５日付け）

　例えば、123-70√2 が 24 に近いなら、115-70√2 は、16 に(42-15√3よりも)近くなると思

いますが、16 のときに、42-15√3 としているのはなぜでしょうか。

　また、逆の見方で、もし「自然数に近づけていく」のが目的ならば、右辺の自然数を変更す
ることで、

16≒42-15√3
16≒115-70√2
16≒260-63√15

のように、左辺の値を一定にしたり、

1≒27-15√3
2≒101-70√2
3≒247-63√15

のように 8 の倍数以外にすることもできますが、左辺の値が 8 の倍数のみとなっているの
は、8 の倍数から右辺を導出する決まった手法があるということでしょうか。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年９月２５日付け）

　左辺の値が 8 の倍数のみとなっているのは、8 の倍数から右辺を導出する決まった手法
があるということでしょうか。

　ある本を読んでいて、

　m:=1/2*(sqrt(n+1)+sqrt(n-1))･････････�@

と置くとき、

　1/m=sqrt(n+1)-sqrt(n-1)･･････････････�A

　m^2=1/2*(n+sqrt(n^2-1)･･･････････････�B

　n-m^2=1/(4*m^2)･･････････････････････�C

が成り立ち、これらの等式を組み合わせることで、

1/(8*m^5*(m+sqrt(n))^2)=(m-sqrt(n))^2/(8*m^5*(m^2-n)^2)
=(m^2-2*m*sqrt(n)+n)/(m/2)=2*(m-2*sqrt(n)+n/m)
=(2*n+1)*sqrt(n+1)-(2*n-1)*sqrt(n-1)-4*sqrt(n)･･････････････(*)

なる等式が成立することになる。左辺を見ることで、右辺の値は、

　O(1/(n^(5/2)*n)=O(1/n^(3+1/2)のオーダーでほゞ無視出来ることができる。

　この巧みな式を見て、n+1、n-1、n がそれぞれ平方根√が外れる各nに対応して、

(2*n+1)*sqrt(n+1)≒(2*n-1)*sqrt(n-1)+4*sqrt(n)
(2*n-1)*sqrt(n-1)≒(2*n+1)*sqrt(n+1)-4*sqrt(n)
4*sqrt(n)≒(2*n+1)*sqrt(n+1)-(2*n-1)*sqrt(n-1)

という風に左辺の自然数を右辺の2つの無理数で構成出来るなと思って先程の等式もどき
を作っていきました。

　なお、ここで、第３番目の等式を両辺平方して、

　16*n≒8*n^3+10*n-2*(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)

　÷2から、

　8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)･･�D

なる式を利用すれば、8 の倍数の自然数が右辺の一つの無理数で近似出来ることが可能
となる。この�Dから構成していきました。

　らすかるさんのご指摘の様に、

gp > forprime(p=2,100,for(n=1,1000000,if(frac(n*sqrt(p)) < 0.000001,print(n";"p))))
978122;3
902702;7
283009;17
566018;17
345777;19
254813;29
509626;29
528641;41
424802;43
829254;47
528896;53
951113;61
977001;89
594030;97

や

gp > forprime(p=2,100,for(n=1,10000000,if(frac(n*sqrt(p)) > 0.9999999,print(n";"p))))
9369319;2
7865521;3
7465176;5
3096720;7
9504180;11
2298912;17
4508361;19
9016722;19
5412001;23
8193638;29
9600319;31
1311360;41
3697884;43
7395768;43
6191808;47
8142716;61
2874480;71
5748960;71
8623440;71
4684249;73
4121279;79
8242558;79
9005009;89
6377352;97

なる素数や整数を組み合わせれば(bとpを上の組み合わせに取っておく意味)、

　a+b*sqrt(p)

は、a を調節することで一個の無理数で、なんぼでも自然数すべてを好きな近似精度で作り
出すことは可能となるんでした。

　しかし、(*)の等式を作り出せるセンスにほどほど感心しました。


　らすかるさんからのコメントです。（令和６年９月２５日付け）

　なるほど、やはり 8 の倍数にだけ使える式があったのですね。よくわかりました。


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年９月２６日付け）

　GAI さんが何をしたいのか全くわからないんですが、16=42-15*sqrt(3) が特別な近似式で
あるかのように扱われている理由はどこにあるんです？


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年９月２６日付け）

　16=42-15*sqrt(3) が特別な近似式であるかのように扱われている理由はどこにあるんです？

　らすかるさんへの返事の中の

　8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)･･�D

なる式から、n=2,7,26 で生まれる式が以下の式となる意味であり、

16=42-15*sqrt(3)
56=1407-780*sqrt(3)
208=70434-40545*sqrt(3)

　その　16=42-15*sqrt(3) が特別な近似式というつもりはありません。

　上の3つの式から、

sqrt(3)=(42-16)/15=26/15
sqrt(3)=(1407-56)/780=1351/780
sqrt(3)=(70434-208)/40545=70226/40545

等が発生します。(前に掲示している中から選んでいるだけです。)

　ここに、sqrt(3) の連分数を途中で打ち切って分数としていく手順を自動でやらせていくと、

gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(3)),20)
%208 =
[1 2 5 7 19 26 71 97 265 362 989 1351 3691 5042 13775 18817 51409 70226 191861 262087 716035]

[1 1 3 4 11 15 41 56 153 209 571 780 2131 2911 7953 10864 29681 40545 110771 151316 413403]

の様に右に行くにしたがって、より sqrt(3) へ近似していけます。

　この流れの中に、26/15,1351/780,70226/40545 もいますから、16=42-15*sqrt(3) が特別
の式との解釈は、"はて？"と思ってしまいます。


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年９月２６日付け）

　ああ、具体的な方がいいかと思って1つ抽出したら、質問の意図が伝わりませんでした。

　5番の式で「8n=」の形にした式だけ特別視しているのはなぜですか？

　この式を作るときに、その前に記載された式を平方して整理して得られる

　4*n^3-3*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)≒0

の両辺に突然 8n を加えてできたのが 5 番ですよね。

　ここで、両辺に 7n を足せば 7 の倍数の式ができるでしょうし、9n を足せば 9 の倍数の式
ができるんじゃないでしょうか？

　8n を選択する必然性はなんでしょう？


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年９月２６日付け）

　5番の式で「8n=」の形にした式だけ特別視しているのはなぜですか？

　この式を作るときに、その前に記載された式を平方して整理して得られる

　4*n^3-3*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)≒0

と記載されている部分は、

　8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)

を、なぜ

　3*n≒4*n^3-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)

としないのか？と解釈していいですか？

　理由は、こうすることを気付かなかったです。

　2で割れるからそれで終わりと思い込み。そのままで数値で確認に行っていました。

　これからは、

6≒32-15*sqrt(3)
9≒108-35*sqrt(8)=108-70*sqrt(2)
12≒256-63*sqrt(15)
････････････

で、掲載していたことでしょう。お粗末様でした。


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年９月２６日付け）

　 3*n≒4*n^3-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)

　さらに言えば、3n と 4n^3 を左右に分ける意味もないと思います。

　n は具体的な整数を代入することを想定しているんでしょうから、整数の近似式に整数を
足す項があっては意義が薄いです。

　一方で、これを逆に平方根の有理近似式として、

　√(n^2-1) = (4n^3-3n)/(4n^2-1)

とした式は何かに使えそうですね。


（追記）　kuiperbelt さんからご投稿いただきました。（令和６年９月３０日付け）

　二進対数の近似分数についてです。

　2を底とする二進対数 log_{2}(x) を lb(x) で表すと、lb(3)、lb(5)、lb(7)、lb(11)、lb(13)の連分数
展開は、

lb(3)=[1;1,1,2,2,3,1,5,2,23,...]
lb(5)=[2;3,9,2,2,4,6,2,1,1,3,1,18..]
lb(7)=[2;1,4,5,4,5,4,1,29,...]
lb(11)=[3;2,5,1,1,1,25,1,1,...]
lb(13)=[3;1,2,2,1,22,23,1,9,149,...]

で、lb(13) を [3;1,2,2,1,22,23,1,9] で近似すると、

[3;1,2,2,1,22,23,1,9]-lb(13)=201130/54353-lb(13)=-2.25897731584196266637728075571*10^-12

となって、201130/54353 を lb(13) の近似値とすると、誤差が小さいので、lb(3)、lb(5)、lb(7)、
lb(11) を 54353倍すると、

54353*lb(3)=86147.4668016970019305550728204
54353*lb(5)=126203.757741412805693795471951
54353*lb(7)=152588.162078596956051793358299
54353*lb(11)=188030.486767793017766203979679

となって、小数部分に着目すると、

0.4668016970019305550728204=[0;2,7,33,...]
0.757741412805693795471951=[0;1,3,7,...]
0.162078596956051793358299=[0;6,5,1,...]
0.486767793017766203979679=[0;2,18,2,...]

なので、それぞれを、1/2=[0;2]、3/4=[0;1,3]、1/6={0;6]、1/2=[0;2] で近似すると、

(86147+1/2)/54353-lb(3)=6.10790627896702020627740913203*10^-7
(126203+3/4)/54353-lb(5)=-1.42428436437616975547826382828*10^-7
(152588+1/6)/54353-lb(7)=8.44124466103963591405650940218*10^-8
(188030+1/2)/54353-lb(11)=2.43449432087167148461376935139*10^-7

となりました。

　(86147+1/2)/54353、(126203+3/4)/54353、(152588+1/6)/54353、(188030+1/2)/54353 を
連分数展開すると、

(86147+1/2)/54353=[1;1,1,2,2,3,1,5,2,2,1,2,1,12]
(126203+3/4)/54353=[2;3,9,2,2,4,4,1,1,6,1,1,2]
(152588+1/6)/54353=[2;1,4,5,4,5,5,1,4,1,1,2,3]
(188030+1/2)/54353=[3;2,5,1,1,1,25,1,4,1,1,4,2]

より、

lb(3) で、[1;1,1,2,2,3,1,5,2,...]、
lb(5) で、[2;3,9,2,2,4,...]、
lb(7) で、[2;1,4,5,4,5,...]、
lb(11) で、[3;2,5,1,1,1,25,1,...]

まで一致していて、lb(3)、lb(5)、lb(7)、lb(11)、lb(13) を分母が 54353*12=652236 の分数で、
比較的よく近似できそうです。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和６年１０月１日付け）

　lb(3)、lb(5)、lb(7)、lb(11)、lb(13) を通常に連分数からの打ち切り分数で、分母が6桁である
ものをとると、

lb(3)=301994/190537
lb(5)=227268/97879　(6桁であるものは取れなかった。)
lb(7)=1273419/453601
lb(11)=1444074/417431
lb(13)=201130/54353

が見つかる。

　kuiperbelt氏による構成では、

lb(3)=172295/108706=1033770/652236
lb(5)=504815/217412=1514445/652236
lb(7)=915529/326118=1831058/652236
lb(11)=376061/108706=2256366/652236
lb(13)=201130/54353=2413560/652236

　そこで、初めの方の異なる分数を652236へと統一したとすれば、それぞれの分子は、

lb(3)-->round(652236/190537*301994)=1033770
lb(5)-->round(652236/97879*227268)=1514445
lb(7)-->round(652236/453601*1273419)=1831058
lb(11)-->round(652236/417431*1444074)=2256366
lb(13)-->round(652236/54353*201130)=2413560

と矛盾なくつながりました。



　　以下、工事中！