円と接線                                  戻る

 次の場面設定の場合、 PA・PB=OP2 が成り立つことは明らかである。

        

 実は、次の図においても、 PA・PB=OP2 が成り立つ。

        

 実際に、

    左図において、

      △AOP∽△OBP なので、

       PA : OP = OP : PB

    よって、

         PA・PB=OP2

    が成り立つ。


 この問題は次のような場面設定の問題に拡張される。


   円Oの外部の点Pより接線を引き、円Oの

  平行な2接線との交点をそれぞれA、Bとおく。

   このとき、

         PA・PB=OP2

    が成り立つ。




 このことを示す場合、やはり相似三角形の利用に気がつくことが解決の第一歩だろう。

   左図において、

     ∠OAP+∠OPA+∠OBP=180°

  が成り立つので、

   ∠OAP=∠BOP  、 ∠AOP=∠OBP

  である。(三角形の内角の和は180°!)

   よって、 △AOP∽△OBP なので、

       PA : OP = OP : PB

  より、 PA・PB=OP2  が成り立つ。





  以下、工事中