エイト・クィーン問題　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　チェスには、キング・クィーン・ビショップ・ナイト・ルーク・ポーンの駒があり、日本の将棋に似
ている。ただ、違いは、日本の将棋盤が９×９なのに対して、チェス盤は８×８で少し狭い。
また、将棋は、相手の駒をとった場合、今度は味方の駒として自由に使えるのに対して、チェ
スの場合は、盤上から取り去られた駒は、２度と使えない。だから、将棋の場合、相手・味方
ともに、色の区別がない駒なのに、チェスはしっかり白黒の区別がつけられている。
　チェスの駒の働きを、将棋の駒の働きでみてみよう。

　チェス盤において、８個のクィーンを、お互いの利き筋には、どのクィーンもないように配置す
る問題を、エイト・クィーン問題という。９２通りの配置方法のあることが知られている。
　　試行錯誤を繰り返して、ようやく、左のような配置図を得た。
　（正直に告白すると、３０分ほどかかってしまった。もっと、効率的に求
　める方法があったら、是非お教えください。）
　（参考文献：岡本　茂　監修　大島邦夫　堀本勝久 著
　　　　　最新２００２−’０３年版パソコン用語事典（技術評論社））



同じような問題が、ビショップとかルークについても考えられる。
　　ビショップの場合、そのように配置できる駒の数は、１４個で、例えば、
　１つの例として、左図のようにおけばよい。また、配置の仕方は、７個
　のビショップを黒地だけに配置する方法の数の２乗に等しい。
　　また、８個のルークを、互いの利き筋にないように配置するのは、
　８！＝４０３２０通りの方法がある。
　（参考文献：ゲリファント　他著　大門盛宏・日野寛三　訳
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数列・組合せ・極限　　（東京図書））

（追記）　塾生の諸君に、この問題について考えてもらったら、次のような配置を短時間で得る
ことが出来た。若い感性の素晴らしさに感動しました。脱帽です．．．f(^_^)。

　　Ｔ．Ｋ 君　 　　高杉吉博 君　　諏訪部恭平 君　 府川武史 君
　
横尾良輔 君　　　　Ａ．Ｍ 君　　　　　Ｔ．Ｋ 君
　　　　　　　　　　　（Ａ．Ｍ 君のものは、偶然にも私の見つけたものと同じでした！）

（追記part2）新種が塾生達によって発見されましたので報告します。

　
川口直人 君　 小泉晃一 君　 杉山　聡 君

(エイト・クィーン問題解決のためのプログラム）

　上記のように、いちいち絵を描いていては大変なので、数学的に処理する方法を考えよう。
８×８＝６４マスのどれかにクィーンを置くとき、縦・横・斜めのラインには、もう別のクィーンを
置くことはできない。この事実を、次のように数式処理する。

　例えば、ｍ行ｎ列目にクィーンを置くとき、縦・横・斜めのラインには、固有な数が対応する。

即ち、 　　　　　ｍ ： 横のライン　（１≦ｍ≦８）
　　　　　　　　　 ｎ ： 縦のライン　（１≦ｎ≦８）
　　　　ｍ＋ｎ−１ ： 右上がりの斜めのライン　（１≦ｍ＋ｎ−１≦１５）
　　　　ｍ−ｎ＋８ ： 左下がりの斜めのライン　（１≦ｍ−ｎ＋８≦１５）

　この４つの数は、一つのクィーンに対して、ただ一つ定まる数である。従って、別なクィーン
を置いて、４つの数を求めたとき、そのどれかがそれ以前の対応するラインを表す数と一致
するものがある場合、その場所にクィーンを置くことは不可能であると判断される。

　この考えを用いて、いくつかの場合を検証してみよう。
ｍ＋ｎ−１、ｍ−ｎ＋８ の計算は、表計算ソフトを使えば簡単に求まる。ここでは、Ｅｘｃｅｌ を利
用して、エイト・クィーン問題の解を拾い上げる方法を述べる。

　１行目にクィーンを置く可能性は、８通りある。今、１行１列目に１番目のクィーンを置くとする。
このとき、２行目にクィーンを置く可能性は６通りある。今、２行３、４列目に２番目のクィーンを
置くとすると、３行目のどこにクィーンを置いても失敗することが分かるので、２行５列目に２番
目のクィーンを置くとする。３行目にクィーンを置く可能性は３通りある。今、３行２、７列目に３
番目のクィーンを置くとすると、４行目のどこにクィーンを置いても失敗することが分かるので、
３行８列目に３番目のクィーンを置くとする。４行目にクィーンを置く可能性は２通りある。今、４
行２列目に４番目のクィーンを置くとすると失敗するので、４行６列目に４番目のクィーンを置く
とする。 ｎ の残りの値は、２、３、４、７ で、この順列の数は、２４通りある。Ｅｘｃｅｌを用いて、こ
の全ての場合を調べると、（ｍ，ｎ）＝（５，３）、（６，７）、（７，２）、（８，４）について、条件を満た
すことが分かる。（これは、まさしく上記の左側の場合である。）

　このように、多少時間はかかるが、単に機械的な計算なので、９２種類のパターンを得ること
は容易に出来ると思う。（全９２種類のパターンを知りたい方は、こちらをクリック！）

（参考文献：野崎昭弘　著　コンピューターのセンス（数学セミナー’９３−８　（日本評論社）））

（追伸）上記プログラムで検証の結果、今まで得られたパターンの中に誤りが発見されました。
　　　本文を修正しましたので、ご了承下さい。


（追記）　「公園設計の土地探し」と題して、ＧＡＩ さんよりご投稿いただきました。（令和８年７月４日付け）

　エイトクィーンパズルと言って、一般に、n×nのboardにn個の石を配置し、お互いの石がぶ
つからない(縦、横、斜め)ように石を配置するものとする。

　さて、配置できるパターンでその中に石が全く置かれていない長方形での部分の面積が最
大になれる大きさはどれだけ取れるものが出来るか？（なお、1マスの大きさを1としておく。)

　ｎ=6,7,8について求めて下さい。出来ればその時の配置パターンも．．．。
(n=9も考えていたんですが,余りにパターンがあり過ぎて手をつけられていません。)


　らすかるさんからのコメントです。（令和８年７月６日付け）

　私の解釈が正しいかどうかの確認のために聞きたいのですが、n=6のときの最大の長方形
の面積は8ですか？


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和８年７月７日付け）

　n=6では4通り配置が可能ですが、位相的にはどれも同型となり、中に取れる長方形の面積
は、2*4=8の大きさを持ちます。


　らすかるさんからのコメントです。（令和８年７月７日付け）

　合っているかどうかわかりませんが、こんな値になりました。

n=6: 2*4=8
n=7: 2*5=10
n=8: 4*4=16
n=9: 4*5=20
n=10: 4*6=24
n=11: 5*6=30
n=12: 5*7=35
n=13: 6*7=42
n=14: 6*8=48
n=15: 7*8=56


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和８年７月７日付け）

　手作業ではとても手に負えなかったので、Copilot(人工知能)と何度もやり取りを繰り返し、
PARI/GPで走らせるプログラムをやっとの思いで完成させ調査してみました。
(位相的に同じものを探し出す手続きがとても面倒でした。でもこれをしないと対象のものが
莫大な数に膨れて調べる気力を奪われてしまいます。)

　n=6,7,8,9,10での結果が以下の様になるようです。

　なお、S:異なる配置総数、S0:位相的異なる配置総数とし、配置した中に生まれる公園(長方
形)を最も広くできる配置図が以下のもので可能となります。
(最大面積は位相的に異なるパターンをすべて出力し、目で見て探しているのでひょっとして
見落としているものがあるかもしれませんが、一応何度も点検した積りです。)

8X8board (S=92;S0=12); 最大16(正方形となる)
Solution
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･

9X9board (S=352;S0=46); 最大20(２パターン存在)

10X10board (S=724;S0=92); 最大20(５パターン存在)

　n=10での24の配置図はどの様なものなのですか？


　らすかるさんからのコメントです。（令和８年７月７日付け）

　パターンはいろいろあるみたいですが、例えば、

･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･

(追記)　パターンは全部で4パターンのようです。

･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　

　最後のパターンは点対称できれいですね。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和８年７月７日付け）

　でも、これらは斜めが重複しませんか？


　らすかるさんからのコメントです。（令和８年７月７日付け）

　「すべての石について、縦横斜めの8方向に他の石が存在しない」が成り立てば良いものと
思っていましたが、違いますか？

　もし、これが正しければ重複していないつもりですが、重複しているようでしたら具体的にど
のパターンのどの石とどの石が重複しているかを教えて頂ければと思います。

　また、私の解釈が間違いでしたら正しい解釈を教えて頂ければと思います。

# 上の書き込みでn=10のパターン数を「5」と書いてしまいましたが、「4」の間違いですので訂
正しました。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和８年７月７日付け）

　投稿してすぐに間違いであることに気付いて削除しようと操作するも、サイトの状態が固まっ
た状態がしばらく続いていたので訂正できずにいました。

　92パターンを再び画面を拡大して眺めていたら、92個を一覧にするため、出力されていた
のをエクセルに並べて(一文字が小さくなっていた)印刷してたので眺めていたので、

. Q . . . . . . . . が
.Q.........

とQ.が重なった状態でしか見えなくてつい見落としていました。
(年とともに小さい字が見えずらい!）

･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　

これらは、

として、実際に出力していた。24の広さが取れることを確認できました。


　らすかるさんからのコメントです。（令和８年７月８日付け）

　高速化のアルゴリズムを考えていて、気付いた点など書きます。

(1) 長方形は最大でも縦横2辺の合計がn

　n≧6では最大の長方形の縦横2辺の合計がn未満になることはなさそうです。

　n=2mの場合の最大面積は、高々m^2、n=2m+1の場合の最大面積は、高々m(m+1)となり
ます。

　nが大きい場合は自由度が増すため、m^2またはm(m+1)となりそう(15≦n≦50で確認済み)
ですが、nが小さい(n=6,7,10,12,14)場合は制約が多くなり、それより小さい値になることがあり
ます。

(2) 最大がm^2(n=2m)またはm(m+1)(n=2m+1)となる場合、石は長方形の上下左右にしか置
　けない

　長方形の辺を延長して井の形にしたとき、角の4区画には置けません。これは上辺の上と下
辺の下を合わせてちょうど上下辺の長さ分の個数、左辺の左と右辺の右を合わせてちょうど
左右辺の長さ分の個数になる必要があることから言えます。

(3) 上記を踏まえて考えると、「条件を満たすパターンを生成して内部の最大長方形を調べる」
　よりも「長方形の大きさと位置を先に固定し、石は置ける範囲だけ試す」の方が高速に探索
　できます。（もちろん長方形の位置は全通り試す必要があります）

　このように高速化すると、「条件に合うパターンを一つ見つける」だけならば、n=50程度まで
可能となります。「パターンが何通りあるか」の場合は、n=25程度までです。

(4) パターン数は、n=18程度まではあまり多くないですが、それを超えると爆発的に増えます。

n=6: 2*4=8 (1通り)
n=7: 2*5=10 (1通り)
n=8: 4*4=16 (1通り)
n=9: 4*5=20 (2通り)
n=10: 4*6=24 (4通り)
n=11: 5*6=30 (2通り)
n=12: 5*7=35 (2通り)
n=13: 6*7=42 (4通り)
n=14: 6*8=48 (26通り)
n=15: 7*8=56 (16通り)
n=16: 8*8=64 (44通り)
n=17: 8*9=72 (23通り)
n=18: 9*9=81 (77通り)
n=19: 9*10=90 (333通り)
n=20: 10*10=100 (1027通り)
n=21: 10*11=110 (1705通り)
n=22: 11*11=121 (2337通り)
n=23: 11*12=132 (18464通り)
n=24: 12*12=144 (27553通り)
n=25: 12*13=156 (188172通り)


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和８年７月９日付け）

　n=11で位相的に異なる341通りの配置方法から、最大面積が30となる配置図が2通りという
ことだったので、その配置方法を何とか探しだすことを試みてみました。
(長方形を任意の位置に設定し空席のカウントを自動で行うプログラムなんて、とても組める
ものではないので、探す方法は目が頼りです。)

　　以下、工事中！