半径 ｒ の円の面積は、πｒ2 である。また、長軸の長さ、短軸の長さがそれぞれ ａ 、ｂ で
ある楕円の面積は、 πａｂ である。
ａ＝ｂ のとき、楕円は円となり、 πａｂ＝πａ2 で、円の面積の公式に一致する。
同様の関係が、直円錐の側面積の場合にも成り立つことを、最近気づいた。
左図のような、底面の半径 ＯＡ、高さ ＯＢ の直円錐の側面積 Ｓ
は、母線の長さ ＡＢ を用いて、
Ｓ＝πＯＡ・ＡＢ
で与えられる。
直円錐の高さ ＯＢ が潰れたとき、 ＡＢ＝ＯＢ となり、 Ｓ＝πＯＡ2 で、円の面積の公
式に一致する。
（証明） 側面を展開すると、半径 ＡＢ、弧の長さ（＝底面の円周の長さ） ２πＯＡ の扇形
なので、その面積は、 （1/2）×（半径）×（弧の長さ） という公式により、
Ｓ＝（1/2）×ＡＢ×２πＯＡ＝πＯＡ・ＡＢ
となる。 （証終）
さらに、母線 ＡＢ の中点 Ｍ で垂線を引き、直線 ＯＢ との交点を Ｎ とおくと、
Ｓ＝２πＯＢ・ＭＮ
が成り立つ。
（証明） △ＯＡＢ∽△ＭＮＢ なので、 ＯＡ ： ＯＢ＝ＭＮ ： ＭＢ が成り立つ。
よって、 ＯＡ・ＭＢ＝ＯＢ・ＭＮ である。
２ＭＢ＝ＡＢ なので、 ＯＡ・ＡＢ＝２ＯＢ・ＭＮ より、
Ｓ＝２πＯＢ・ＭＮ
が成り立つ。 （証終）
（参考文献 ： プリトゥロ 著 松田信行 訳 幾何の論証とその指導 （東京図書））
（追記） 令和７年７月１１日付け
次の東北大学 後期理系（１９９６）の問題は、直円すいの側面積に関する問題である。
問題 頂点から底面に下ろした垂線の足が底面の円の中心に一致する円すいを直円すい
と呼ぶ。側面積が６πである直円すいのなかで体積が最大となるものを考える。このとき、
底面の半径および高さを求めよ。
（解） 底面の半径を ｒ 、高さを ｈ 、母線の長さを ｘ 、扇形の中心角をθとおくと、
ｘθ＝２πｒ 、（１/２）ｘ2θ＝６π より、 ｘ・２πｒ＝６π すなわち、 ｘ＝６/ｒ
また、 ｘ2＝ｈ2＋ｒ2 より、 ｈ2＝３６/ｒ2−ｒ2
直円すいの体積をＶとおくと、 Ｖ＝（１/３）πｒ2ｈ
ｙ＝９Ｖ2/π2＝ｒ4ｈ2＝３６ｒ2−ｒ6 とおくと、 ｙ’＝７２ｒ−６ｒ5＝６ｒ（１２−ｒ4）＝０ から、
ｒ4＝１２ すなわち、 ｒ＝4√１２ のとき、ｙは極大かつ最大となる。
このとき、 ｈ2＝３６/（２
）−２＝４ から、 ｈ＝２4√３ （終）以下、工事中！