最大の正三角形 
１辺の長さが６の正三角形ＡＢＣに外接する正三角形ＤＥＦを考える。
正三角形ＤＥＦの面積が最大になるとき、角θは何度だろうか？ これは中学生レベルの
手頃な初等幾何の問題だろう。
上図のように弦ＡＢに対する円周角は常に一定（６０度）であるので、点Ｄは円周上を動く。
△ＡＢＤの面積が最大になるのは、ＰＡ＝ＰＢ の場合である。よって、△ＡＢＰは正三角形
となり、θ＝６０°である。
上記の考え方は、数学Ⅱの「図形と方程式」や数学Ａの「平面幾何」でも学ぶ。
この場合、△ＡＢＤのみを考え、他を考えていないのは、△ＡＢＣが正三角形という特殊な
場合ゆえ許されることである。
ここで、△ＡＢＣがより一般的な場合に備えて、それに見あった解法を示しておこう。
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左図において、 ∠ＢＡＤ＝θ、∠ＡＤＢ＝６０°から ∠ＡＢＤ＝１２０°－θ となる。 よって、△ＡＢＤにおいて、正弦定理により、  となる。 同様にして、∠ＡＣＦ＝θ であるので、  |
よって、
ＤＦ＝４
（ｓｉｎθ＋ｓｉｎ（120°－θ））＝４×２ｓｉｎ60°ｃｏｓ（θ－60°）＝１２ｃｏｓ（θ－60°）
0°≦θ≦180°であるので、ＤＦは、θ－60°＝0° 即ち、θ＝６０°のとき、最大となる。
このとき、△ＤＥＦの面積も最大となる。
読者のために、練習問題を残しておこう。
問題 頂角が３０°の２等辺三角形に外接する正三角形のうち面積が最大となるときの１辺の
長さを求めよ。ただし、等辺の長さは、６とする。
答えは、 ４
。 皆さん、できましたか？