折り紙を使った角の３等分　　　　　　　　　　　　　

　定規とコンパスのみを用いて任意の角の３等分はできないが、折り紙を用いると、０度から
９０度の任意の角の３等分は可能であることが知られている。

　但し、折り紙とは、一辺の長さが１０ｃｍの正方形とする。

（１）　折り紙を適当に折って、任意の角を作る。

（２）　同じ間隔で２回折り、折り目をつける。

（３）　ＡがＰＣ上Ａ’、ＣがＢＥ上Ｃ’になるように折り、折り目をつける。

（４）　Ａ’Ｃ’の中点Ｂ’に関して、Ａ’Ｂ’とＣ’Ｂ’が重なるように折ると、その折り目はＣを通る。

（５）　（４）において、ＣＢ’、ＣＣ’が角の３等分を与えている。
　　（（２）と（３）が、角の３等分のポイントである。）



（参考文献：1991年度神奈川県数学講座 「かたちを科学する」 講師：高木隆司（東京農工大））


　ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年１０月１８日付け）

　「任意の角の３等分をつくることは、定規とコンパスだけではできない」と言われています
が、折り紙では、できるみたいですね。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年１０月１８日付け）

　折り紙を使うと、角の３等分はおろか５等分もできるらしいですね。定木とコンパスとでは
出来ない正１１角形の作図もできるとか。（→　参考：「折り紙による５次方程式の解法」）


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年１０月１９日付け）

　平面に３点A、B、Cをとり、今、角∠ABCを３等分することを試みる。

但し、定規に２つの傷、もしくは目印としてP、Qの２点をマジックで印を付けておく。

（１）　直線AB上に点BからPQの距離と同じ長さとなるように、そこに点Oをとる。
（２）　点Oを通り、直線BCに平行な線ODを引く。
（３）　点Oを中心として半径OB(=PQ)である円を描く。
（４）　定規を点Bを通る様にして、点Pが円と、点Qが直線ODと重なる様に調整したら、定規
　　　に線BEを引く。
　　(説明のために、円と直線(=OD)との交点をそれぞれP、Qと名付ける。)

　　　

　以上の作業から、△OPQ、△OBPは二等辺三角形より、

∠POQ=∠PQO=θ　なら、　∠OPB=∠OBQ=2θ　で、また平行から、∠OQB=∠CBQ=θ

　これから、　∠ABC=3θ

　したがって、∠ABCの３等分線の一つは直線BEであり、後は、∠ABE=2θを従来のやり方
で、これを２等分すればよい。

#定規の目的を直線をただ引くという役目に、ちょっと手を加えるだけで全てが変化すること
　が面白いです。


　らすかるさんからのコメントです。（令和４年１０月１９日付け）

　 後は、∠ABE=2θを従来のやり方で、これを２等分すればよい。

　せっかくいろいろ補助線がありますので、これを利用して、Qを中心としてPを通る円を描い
て、円OとのPでない交点をFとすれば、BFがもう一つの３等分線になりますね。

　　　


　DD++ さんからのコメントです。（令和４年１０月２１日付け）

（４）　定規を点Bを通る様にして、点Pが円と、点Qが直線ODと重なる様に調整したら、定規
　　　に線BEを引く。

　この条件を満たす定規の角度は全部で 6 つあります。

　2 つは点 Q を点 O におき、定規を直線 AB に重ねて置く方法、
　1 つは点 P を点 B に重ね、点 Q は点 O と異なるところに置く方法。

　この 3 つは明らかに目的の線ではないので除外するとして、残り 3 つのうちどの線を使っ
て作図すればよいのでしょうか？

　鋭角の場合は内角に 1 つと外角に 2 つなので、内角にあるやつを選択すればいいとして
も、鈍角の場合は内角に 2 つあります。


（コメント）　確かに、ＧＡＩ さんの仰る作図法に従い描画しようとするとき、ちょっと戸惑いが
　　　　　　ありましたね！ただ、角の３等分を意識して、上図のような直線ＢＥの作図に思い
　　　　　　至りました。


　らすかるさんからのコメントです。（令和４年１０月２２日付け）

　鈍角の場合は鋭角である外角を三等分したのちに、三等分線から外側に60°の角度を
とれば鈍角の三等分線ができますので、鋭角だけ三等分できれば十分とも言えますね。



　　以下、工事中！