正4面体群                                戻る

 正4面体というと、非常に均整のとれた美しい立体という印象がある。単位球面に内接す
る正4面体は無数にあるが、そのうち、下図のように配置したものが標準的だろう。



   正4面体A-BCDの4頂
  点の座標は、

  

  

  

  

 と規則的だ。




 この正4面体を回転させてピッタリ自分自身と重なるような操作は12通りある。

   (1) 直線OAを回転軸として、120°回転

   (2) 直線OAを回転軸として、240°回転

   (3) 直線OBを回転軸として、120°回転

   (4) 直線OBを回転軸として、240°回転

   (5) 直線OCを回転軸として、120°回転

   (6) 直線OCを回転軸として、240°回転

   (7) 直線ODを回転軸として、120°回転

   (8) 直線ODを回転軸として、240°回転

   (9) 辺ADと辺BCの中点を結ぶ直線を回転軸として、180°回転

   (10) 辺ACと辺BDの中点を結ぶ直線を回転軸として、180°回転

   (11) 辺ABと辺CDの中点を結ぶ直線を回転軸として、180°回転

   (12) 回転も何もしない(恒等変換)

 これら12個の操作は、4つの操作の合成で表される。

   : 直線OAを回転軸として、120°回転 ・・・ (1)

      この変換では、 A → A 、B → C 、C → D 、D → B と移動する。
     これは、巡回置換 ( B C D ) を意味する。

   : 辺ADと辺BCの中点を結ぶ直線を回転軸として、180°回転 ・・・ (9)

      この変換では、 A → D 、B → C 、C → B 、D → A と移動する。
     これは、互換の積 ( A D )( B C ) を意味する。

   : 辺ACと辺BDの中点を結ぶ直線を回転軸として、180°回転 ・・・ (10)

      この変換では、 A → C 、B → D 、C → A 、D → B と移動する。
     これは、巡回置換 ( A C )( B D ) を意味する。

   : 恒等変換 ・・・ (12)

     これは、恒等置換(単位置換) e を意味する。

とする。(以下では、変換 X のあと変換 Y を施すことを、YX と表記する)

 いくつか変換の合成を計算してみよう。

 X2 ・・・ ( B C D )( B C D )=( B D C ) なので、

     この変換で、 A → A 、B → D 、C → B 、D → C と移動する。
     すなわち、操作の(2)を意味する。

 XY ・・・ ( B C D )( A D )( B C )=( A B D ) なので、

     この変換で、 A → B 、B → D 、C → C 、D → A と移動する。
     すなわち、操作の(5)を意味する。

 XZ ・・・ ( B C D )( A C )( B D )=( A D C ) なので、

     この変換で、 A → D 、B → B 、C → A 、D → C と移動する。
     すなわち、操作の(4)を意味する。

 YZ ・・・ ( A D )( B C )( A C )( B D )=( A B )( C D ) なので、

     この変換で、 A → B 、B → A 、C → D 、D → C と移動する。
     すなわち、操作の(11)を意味する。

 XYZ ・・・ ( B C D )( A D )( B C )( A C )( B D )=( A C B ) なので、

     この変換で、 A → C 、B → A 、C → B 、D → D と移動する。
     すなわち、操作の(8)を意味する。

 2 ・・・ ( B D C )( A D )( B C )=( A C D ) なので、

     この変換で、 A → C 、B → B 、C → D 、D → A と移動する。
     すなわち、操作の(3)を意味する。

 2 ・・・ ( B D C )( A C )( B D )=( A B C ) なので、

     この変換で、 A → B 、B → C 、C → A 、D → D と移動する。
     すなわち、操作の(7)を意味する。

 X2YZ ・・・ ( B D C )( A D )( B C )( A C )( B D )=( A D B ) なので、

     この変換で、 A → D 、B → A 、C → C 、D → B と移動する。
     すなわち、操作の(6)を意味する。

以上から、

  正4面体を回転させてピッタリ自分自身と重なるような操作(1)〜(12)は順番に、

    、2 、2 、XZ 、XY 、2YZ 、2 、XYZ 、 、 、YZ 、

と表される。

 X3 = I なので、12通りの操作は、基本的に、3種類の操作 X、Y、Z の組合せで得ら
れることになる。

 このことについて、実は、2種類の操作の組合せでも表されることが知られている。

 次の2つの変換を考える。

   : 直線OAを回転軸として、120°回転

      この変換では、 A → A 、B → C 、C → D 、D → B と移動する。
     これは、巡回置換 ( B C D ) を意味する。

   : 直線ODを回転軸として、120°回転

      この変換では、 A → B 、B → C 、C → A 、D → D と移動する。
     これは、巡回置換 ( A B C ) を意味する。

 この2つの変換  、 で、12通りの変換

    、2 、2 、XZ 、XY 、2YZ 、2 、XYZ 、 、 、YZ 、

が表されることを以下に示す。

 まず、 X=A 、 22 、 2Z=D 、 XYZ=D2 、 I=A3 は明らか。

 次に、直線OBを回転軸として、120°回転させる場合、変換 -1 を施し、直線OAが
回転軸の場合に変換して、120°回転させ、その後で、変換 を施せばよい。

 よって、 2Y=DAD-1  、 XZ=DA2-1 と表される。

同様にして、 XY=D-1AD 、 2YZ=D-12 と表される。

 これより、 Y=A-1-1AD と表される。

 ここで、 AD=( B C D )( A B C )=( A C )( B D ) なので、この操作は、
辺ACと辺BDの中点を結ぶ直線を回転軸として、180°回転させる場合に相当する。

 よって、 Z=AD と表される。

 ここで、 DA=( A B C )( B C D )=( A B )( C D ) なので、この操作は、
辺ABと辺CDの中点を結ぶ直線を回転軸として、180°回転させる場合に相当する。

 よって、 YZ=DA と表される。

 以上から、12通りの変換は、2つの変換  、 により、

2DAD-1DA2-1-1AD-122-1-1ADADDA3

と表されることが示された。



   以下、工事中