正４面体というと、非常に均整のとれた美しい立体という印象がある。単位球面に内接す
る正４面体は無数にあるが、そのうち、下図のように配置したものが標準的だろう。
正４面体Ａ-ＢＣＤの４頂
点の座標は、
と規則的だ。
この正４面体を回転させてピッタリ自分自身と重なるような操作は１２通りある。
（１） 直線ＯＡを回転軸として、１２０°回転
（２） 直線ＯＡを回転軸として、２４０°回転
（３） 直線ＯＢを回転軸として、１２０°回転
（４） 直線ＯＢを回転軸として、２４０°回転
（５） 直線ＯＣを回転軸として、１２０°回転
（６） 直線ＯＣを回転軸として、２４０°回転
（７） 直線ＯＤを回転軸として、１２０°回転
（８） 直線ＯＤを回転軸として、２４０°回転
（９） 辺ＡＤと辺ＢＣの中点を結ぶ直線を回転軸として、１８０°回転
（10） 辺ＡＣと辺ＢＤの中点を結ぶ直線を回転軸として、１８０°回転
（11） 辺ＡＢと辺ＣＤの中点を結ぶ直線を回転軸として、１８０°回転
（12） 回転も何もしない（恒等変換）
これら１２個の操作は、４つの操作の合成で表される。
Ｘ ： 直線ＯＡを回転軸として、１２０°回転 ・・・ （１）
この変換では、 Ａ → Ａ 、Ｂ → Ｃ 、Ｃ → Ｄ 、Ｄ → Ｂ と移動する。
これは、巡回置換 （ Ｂ Ｃ Ｄ ） を意味する。
Ｙ ： 辺ＡＤと辺ＢＣの中点を結ぶ直線を回転軸として、１８０°回転 ・・・ （９）
この変換では、 Ａ → Ｄ 、Ｂ → Ｃ 、Ｃ → Ｂ 、Ｄ → Ａ と移動する。
これは、互換の積 （ Ａ Ｄ ）（ Ｂ Ｃ ） を意味する。
Ｚ ： 辺ＡＣと辺ＢＤの中点を結ぶ直線を回転軸として、１８０°回転 ・・・ （10）
この変換では、 Ａ → Ｃ 、Ｂ → Ｄ 、Ｃ → Ａ 、Ｄ → Ｂ と移動する。
これは、巡回置換 （ Ａ Ｃ ）（ Ｂ Ｄ ） を意味する。
Ｉ ： 恒等変換 ・・・ （12）
これは、恒等置換（単位置換） ｅ を意味する。
とする。（以下では、変換 Ｘ のあと変換 Ｙ を施すことを、ＹＸ と表記する）
いくつか変換の合成を計算してみよう。
Ｘ2 ・・・ （ Ｂ Ｃ Ｄ ）（ Ｂ Ｃ Ｄ ）＝（ Ｂ Ｄ Ｃ ） なので、
この変換で、 Ａ → Ａ 、Ｂ → Ｄ 、Ｃ → Ｂ 、Ｄ → Ｃ と移動する。
すなわち、操作の（２）を意味する。
ＸＹ ・・・ （ Ｂ Ｃ Ｄ ）（ Ａ Ｄ ）（ Ｂ Ｃ ）＝（ Ａ Ｂ Ｄ ） なので、
この変換で、 Ａ → Ｂ 、Ｂ → Ｄ 、Ｃ → Ｃ 、Ｄ → Ａ と移動する。
すなわち、操作の（５）を意味する。
ＸＺ ・・・ （ Ｂ Ｃ Ｄ ）（ Ａ Ｃ ）（ Ｂ Ｄ ）＝（ Ａ Ｄ Ｃ ） なので、
この変換で、 Ａ → Ｄ 、Ｂ → Ｂ 、Ｃ → Ａ 、Ｄ → Ｃ と移動する。
すなわち、操作の（４）を意味する。
ＹＺ ・・・ （ Ａ Ｄ ）（ Ｂ Ｃ ）（ Ａ Ｃ ）（ Ｂ Ｄ ）＝（ Ａ Ｂ ）（ Ｃ Ｄ ） なので、
この変換で、 Ａ → Ｂ 、Ｂ → Ａ 、Ｃ → Ｄ 、Ｄ → Ｃ と移動する。
すなわち、操作の（11）を意味する。
ＸＹＺ ・・・ （ Ｂ Ｃ Ｄ ）（ Ａ Ｄ ）（ Ｂ Ｃ ）（ Ａ Ｃ ）（ Ｂ Ｄ ）＝（ Ａ Ｃ Ｂ ） なので、
この変換で、 Ａ → Ｃ 、Ｂ → Ａ 、Ｃ → Ｂ 、Ｄ → Ｄ と移動する。
すなわち、操作の（８）を意味する。
Ｘ2Ｙ ・・・ （ Ｂ Ｄ Ｃ ）（ Ａ Ｄ ）（ Ｂ Ｃ ）＝（ Ａ Ｃ Ｄ ） なので、
この変換で、 Ａ → Ｃ 、Ｂ → Ｂ 、Ｃ → Ｄ 、Ｄ → Ａ と移動する。
すなわち、操作の（３）を意味する。
Ｘ2Ｚ ・・・ （ Ｂ Ｄ Ｃ ）（ Ａ Ｃ ）（ Ｂ Ｄ ）＝（ Ａ Ｂ Ｃ ） なので、
この変換で、 Ａ → Ｂ 、Ｂ → Ｃ 、Ｃ → Ａ 、Ｄ → Ｄ と移動する。
すなわち、操作の（７）を意味する。
Ｘ2ＹＺ ・・・ （ Ｂ Ｄ Ｃ ）（ Ａ Ｄ ）（ Ｂ Ｃ ）（ Ａ Ｃ ）（ Ｂ Ｄ ）＝（ Ａ Ｄ Ｂ ） なので、
この変換で、 Ａ → Ｄ 、Ｂ → A 、Ｃ → Ｃ 、Ｄ → Ｂ と移動する。
すなわち、操作の（６）を意味する。
以上から、
正４面体を回転させてピッタリ自分自身と重なるような操作（１）〜（12）は順番に、
Ｘ 、Ｘ2 、Ｘ2Ｙ 、ＸＺ 、ＸＹ 、Ｘ2ＹＺ 、Ｘ2Ｚ 、ＸＹＺ 、Ｙ 、Ｚ 、ＹＺ 、Ｉ
と表される。
Ｘ3 ＝ Ｉ なので、１２通りの操作は、基本的に、３種類の操作 Ｘ、Ｙ、Ｚ の組合せで得ら
れることになる。
このことについて、実は、２種類の操作の組合せでも表されることが知られている。
次の２つの変換を考える。
Ａ ： 直線ＯＡを回転軸として、１２０°回転
この変換では、 Ａ → Ａ 、Ｂ → Ｃ 、Ｃ → Ｄ 、Ｄ → Ｂ と移動する。
これは、巡回置換 （ Ｂ Ｃ Ｄ ） を意味する。
Ｄ ： 直線ＯＤを回転軸として、１２０°回転
この変換では、 Ａ → Ｂ 、Ｂ → Ｃ 、Ｃ → Ａ 、Ｄ → Ｄ と移動する。
これは、巡回置換 （ Ａ Ｂ Ｃ ） を意味する。
この２つの変換 Ａ 、Ｄ で、１２通りの変換
Ｘ 、Ｘ2 、Ｘ2Ｙ 、ＸＺ 、ＸＹ 、Ｘ2ＹＺ 、Ｘ2Ｚ 、ＸＹＺ 、Ｙ 、Ｚ 、ＹＺ 、Ｉ
が表されることを以下に示す。
まず、 Ｘ＝Ａ 、 Ｘ2＝Ａ2 、 Ｘ2Ｚ＝Ｄ 、 ＸＹＺ＝Ｄ2 、 Ｉ＝Ａ3 は明らか。
次に、直線ＯＢを回転軸として、１２０°回転させる場合、変換 Ｄ-1 を施し、直線ＯＡが
回転軸の場合に変換して、１２０°回転させ、その後で、変換 Ｄ を施せばよい。
よって、 Ｘ2Ｙ＝ＤＡＤ-1 、 ＸＺ＝ＤＡ2Ｄ-1 と表される。
同様にして、 ＸＹ＝Ｄ-1ＡＤ 、 Ｘ2ＹＺ＝Ｄ-1Ａ2Ｄ と表される。
これより、 Ｙ＝Ａ-1Ｄ-1ＡＤ と表される。
ここで、 ＡＤ＝（ Ｂ Ｃ Ｄ ）（ Ａ Ｂ Ｃ ）＝（ Ａ Ｃ ）（ Ｂ Ｄ ） なので、この操作は、
辺ＡＣと辺ＢＤの中点を結ぶ直線を回転軸として、１８０°回転させる場合に相当する。
よって、 Ｚ＝ＡＤ と表される。
ここで、 ＤＡ＝（ Ａ Ｂ Ｃ ）（ Ｂ Ｃ Ｄ ）＝（ Ａ Ｂ ）（ Ｃ Ｄ ） なので、この操作は、
辺ＡＢと辺ＣＤの中点を結ぶ直線を回転軸として、１８０°回転させる場合に相当する。
よって、 ＹＺ＝ＤＡ と表される。
以上から、１２通りの変換は、２つの変換 Ａ 、Ｄ により、
Ａ、Ａ2、ＤＡＤ-1、ＤＡ2Ｄ-1、Ｄ-1ＡＤ、Ｄ-1Ａ2Ｄ、Ｄ、Ｄ2、Ａ-1Ｄ-1ＡＤ、ＡＤ、ＤＡ、Ａ3
と表されることが示された。
以下、工事中